几何与代数_lec16-子空间的基和维数.ppt

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1、几何与代数主讲:关秀翠东南大学数学系2010年国家级精品课程教学内容和学时分配第四章n维向量教学内容学时数§4.1n维向量空间2§4.2向量组的线性相关性4§4.3子空间的基和维数2§4.4向量的内积2§4.5线性方程组的解的结构2§4.7用Matlab解题1问题式预习及思考题1.什么是向量空间的基和维数？3.如何求一个向量在两组基下的坐标？思考题请总结一个m行n列矩阵A的秩等于r的充要条件都有哪些？2.A的列空间R(A)的基和维数是什么？非零子式的最高阶数矩阵的秩A中至少有一个r级子式0,任一k(>r)级子式=0.r(Amn)=rAP,

2、Q可逆,A=PQ.r(A)=r(AT)r(A)、A的行向量组的秩、A的列向量组的秩间的关系？A的列向量组中存在r个线性无关的向量，但任意r+1个向量线性相关.与A的列向量组等价的任意一个线性无关向量组均含r个向量A的列向量组中任意r个线性无关的向量都是其极大无关组;A的列向量组中任意极大无关组均含有r个向量.三.向量组的秩与矩阵的秩初等行变换矩阵A与B的行向量组等价(行等价)初等行变换初等行变换不改变行(向量组的)秩第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性B的行向量组能由A的行向量组线性表示A的行向量组能由B的行向量组线性表示初等行变换

3、(i1,i2,…,is)x=与(i1,i2,…,is)y=同解初等行变换初等行变换不改变列(向量组的)秩(i1,i2,…,is)线性相关(i1,i2,…,is)线性相关(i1,i2,…,is)线性无关(i1,i2,…,is)线性无关初等行变换不改变列向量组间的线性关系第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性s列,(i1,i2,…,is)(i1,i2,…,is)初等行变换初等行变换(i1,i2,…,is)x=it与(i1,i2,…,is)y=it同解初等行变换初等行变换不改变列(向

4、量组的)秩若it=k1i1+k2i2+…+ksis则it=k1i1+k2i2+…+ksis初等行变换不改变列向量组间的线性关系第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性s+1列,(i1,i2,…,is,it)(i1,i2,…,is,it)初行11204013220002300000123451234极大无关组极大无关组秩(1,2,3,4,5)=3.秩(1,2,3,4)=3.阶梯阵A的行秩=秩(A)三.向量组的秩与矩阵的秩10204013020001300000第四章n维向量

5、§4.2向量组的线性相关性阶梯阵A的列秩=行秩(AT)=秩(AT)=秩(A)=列秩阶梯阵的主列是该阶梯阵列向量组的极大无关组；初等行变换不改变行秩.初等行变换不改变列秩.阶梯形矩阵的行秩=秩=列秩定理4.6.任意矩阵的行秩=秩=列秩.三.向量组的秩与矩阵的秩第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性初等行变换(阶梯阵)初等行变换不改变秩.矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩一样.非零子式的最高阶数矩阵的秩A中至少有一个r级子式0,任一k(>r)级子式=0.3)r(Amn)=rAP,Q可逆,A=PQ.r(A)=r(AT)A的行向量组的秩=

6、A的列向量组的秩=r(A)A的行(列)向量组中存在r个线性无关的向量，但任意r+1个向量线性相关.与A的行(列)向量组等价的任意一个线性无关向量组均含r个向量A的行(列)向量组中任意r个线性无关的向量都是其极大无关组;A的行(列)向量组中任意极大无关组均含有r个向量.=行秩(A)=列秩(A)初等行变换例1.求矩阵A的列向量组的一个极大无关组.解:故A的第1,2,4列为A的列向量组的一个极大无关组.第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性行最简形的主列是其列向量组的极大无关组初等行变换不改变列向量间的线性关系阶梯阵的主列对应的原矩阵的列也是原矩阵

7、列向量组的极大无关组；初等行变换例1.求矩阵A的列向量组的一个极大无关组.解:故A的第1,2,4列为A的列向量组的一个极大无关组.第四章n维向量§4.2向量组的线性相关性初等行变换不改变列向量间的线性关系并把其余列用此极大无关组线性表示.B3=–B1–B2,A3=–A1–A2,B5=4B1+3B2–3B4.A5=4A1+3A2–3A4.求一个向量组的极大无关组的方法：阶梯阵的主列对应的原矩阵的列是原矩阵列向量组的极大无关组；初等行变换(阶梯阵)将向量组按列向量组构成矩阵若要将非主列用极大无关组线性表示,则要化成行简化阶梯阵.第四章n维向量§4.2向量组

8、的线性相关性注3:极大无关组为原矩阵A中的列注2:初等行变换注1:按列向量组构成矩阵12