子空间直和的判定与证明.docx

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1、子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1∊V1，α2∊V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi∊Vi（i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。必要性：显然成立；充分性：设α∊V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi∊Vi（i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中

2、αi-βi∊Vi（i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi（i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi∊Vi（i=1,2）那么α1=-α2∊V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。必要性：任取向量α∊V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α∊V1，—α∊V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，

3、令W=V1+V2，则W=V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，

4、αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。三、（1）直和的定义1：设V1，V2,……Vs都是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+……+Vs中每个向量α的分解式α=α1+α2+……+αs，αi∊Vi（i=1,2,……,s）是唯一的，这个和就是直和，记为V1⊕V2⊕……⊕Vs.（2）直和的定义2：W=ΣVi是直和的充分必要条件是：1>零向量的表法不唯一；2>Vi∩ΣVj={0}(i=1,2,……，s)；3>维（W）=Σ维（Vi）（i=1,2,……，s

5、）.一、例题：1．已知Pn*n的两个子空间S1={A

6、A’=A,A∊Pn*n},S2={A

7、A’=-A,A∊Pn*n},证明：Pn*n=S1⊕S2.证明：先证Pn*n=S1+S2.对任意的A∊Pn*n，有A=(A+A’)/2+(A-A’)/2=B+C,其中，B=(A+A’)/2,C=(A-A’)/2,容易验证B’=B,C’=-C.所以B∊S1，C∊S2，即有Pn*n=S1+S2.再证S1∩S2={0}.若D∊S1∩S2,则D’=D,D’=-D,所以D=0,即S1∩S2={0}.综上得，Pn*n=S1⊕S

8、2.2.设V1，V2分别是齐次方程组x1+x2+……+xn=0和x1=x2=……=xn的解空间，证明Pn=V1⊕V2.证明：齐次方程组x1+x2+……+xn=0解空间的一组基α1=（-1,1,0，……，0），α2=（-1,0,1,0，……，0），……，αn-1=（-1,0，……，0，1）.因此，V1=L（α1，α2，……，αn-1）.齐次方程组x1=x2=……=xn的一般解为x1=xnx2=xn…xn-1=xn从而它的解空间的一组基为β=（1,1，……，1），因此V2=L(β).取向量α1，α2，……，αn-1，β，由

9、于，det-11⋯0⋮⋱⋮-1⋯1=(-1)n-1*n≠0，从而α1，α2，……，αn-1，β线性无关，因此它是Pn的一组基，于是，Pn=L（α1，α2，……，αn-1，β）.因为V1+V2=L（α1，α2，……，αn-1）+L(β)=L（α1，α2，……，αn-1，β）=Pn.维（V1）+维（V2）=(n-1)+1=n=维（Pn）.所以Pn=V1⊕V2.3.证明每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。证明：设V的一组基为α1，α2，……，αn，则V=L(α1)+L(α2)+……+L(αn)，其中L(αi)

10、为一维空间，i=1,2，……，n.又因为维（L(α1)）+维（L(α2)）+……+维（L(αn)）=维（V）=n所以V=L(α1)⊕L(α2)+……⊕L(αn).贾迪迪