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《子空间直和的判定与证明.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、子空间直和的判定与证明一、直和的定义:设V1,V2是线性空间V的子空间,如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2,α1∊V1,α2∊V2,是惟一的,这个和就称为直和,记为V1⊕V2.二、判定定理:1.定理:和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0,αi∊Vi(i=1,2)只有在αi全为零向量时才成立.证明:要证明零向量的分解式是唯一的即可。必要性:显然成立;充分性:设α∊V1+V2,它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2,αi,βi∊Vi(i=1,2)于是(α1-β1)+(α2-β2)=0.其中
2、αi-βi∊Vi(i=1,2).由定理的条件,应有α1-β1=0,αi=βi(i=1,2).这就是说,向量α的分解式是唯一的。2.定理:和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明:充分性:假设α1+α2=0,αi∊Vi(i=1,2)那么α1=-α2∊V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。必要性:任取向量α∊V1∩V2,于是零向量可以表成0=α+(-α),α∊V1,—α∊V2.因为是直和,所以α=-α=0,这就证明了V1∩V2={0}.3.定理:设V1,V2是线性空间V的子空间,
3、令W=V1+V2,则W=V1⊕V2的充分必要条件是维(W)=维(V1)+维(V2).证明:充分性:维(W)=维(V1)+维(V2),由维数公式知,维(V1∩V2)=0,则V1∩V2={0},由定理2得,V1+V2是直和。必要性:因为维(W)+维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2),由定理2得,V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0},这与维(V1∩V2)=0等价,则维(W)=维(V1)+维(V2).4.定理:设U是线性空间V的一个子空间,那么一定存在一个子空间W,使V=U⊕W.证明:取U得一组基α1,……,
4、αm,把它扩充为V的一组基α1,……,αm,αm+1,……,αn,令W=L(αm+1,……,αn).W即满足条件。三、(1)直和的定义1:设V1,V2,……Vs都是线性空间V的子空间,如果和V1+V2+……+Vs中每个向量α的分解式α=α1+α2+……+αs,αi∊Vi(i=1,2,……,s)是唯一的,这个和就是直和,记为V1⊕V2⊕……⊕Vs.(2)直和的定义2:W=ΣVi是直和的充分必要条件是:1>零向量的表法不唯一;2>Vi∩ΣVj={0}(i=1,2,……,s);3>维(W)=Σ维(Vi)(i=1,2,……,s
5、).一、例题:1.已知Pn*n的两个子空间S1={A
6、A’=A,A∊Pn*n},S2={A
7、A’=-A,A∊Pn*n},证明:Pn*n=S1⊕S2.证明:先证Pn*n=S1+S2.对任意的A∊Pn*n,有A=(A+A’)/2+(A-A’)/2=B+C,其中,B=(A+A’)/2,C=(A-A’)/2,容易验证B’=B,C’=-C.所以B∊S1,C∊S2,即有Pn*n=S1+S2.再证S1∩S2={0}.若D∊S1∩S2,则D’=D,D’=-D,所以D=0,即S1∩S2={0}.综上得,Pn*n=S1⊕S
8、2.2.设V1,V2分别是齐次方程组x1+x2+……+xn=0和x1=x2=……=xn的解空间,证明Pn=V1⊕V2.证明:齐次方程组x1+x2+……+xn=0解空间的一组基α1=(-1,1,0,……,0),α2=(-1,0,1,0,……,0),……,αn-1=(-1,0,……,0,1).因此,V1=L(α1,α2,……,αn-1).齐次方程组x1=x2=……=xn的一般解为x1=xnx2=xn…xn-1=xn从而它的解空间的一组基为β=(1,1,……,1),因此V2=L(β).取向量α1,α2,……,αn-1,β,由
9、于,det-11⋯0⋮⋱⋮-1⋯1=(-1)n-1*n≠0,从而α1,α2,……,αn-1,β线性无关,因此它是Pn的一组基,于是,Pn=L(α1,α2,……,αn-1,β).因为V1+V2=L(α1,α2,……,αn-1)+L(β)=L(α1,α2,……,αn-1,β)=Pn.维(V1)+维(V2)=(n-1)+1=n=维(Pn).所以Pn=V1⊕V2.3.证明每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。证明:设V的一组基为α1,α2,……,αn,则V=L(α1)+L(α2)+……+L(αn),其中L(αi)
10、为一维空间,i=1,2,……,n.又因为维(L(α1))+维(L(α2))+……+维(L(αn))=维(V)=n所以V=L(α1)⊕L(α2)+……⊕L(αn).贾迪迪