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1、§7子空间的直和引入上节讨论了子空间的和，若是的子空间,可以分解为，自然要问这种分解式唯一吗？在几何空间中,设是过原点的X轴上的所有向量构成的子空间,是过原点的Y轴所有向量构成的子空间.则，这时,中的每一个向量都能唯一地表示成中子空间的这种和特别重要.的向量与中的向量的和.上的线性空间的定义7.1设是数域两个子空间.若中的每一个向量的分解式是唯一的.称为直和(directsum),记为定理7.1设为数域上的线性空间的两个子空间.则下列命题等价:是直和;零向量分解式是唯一的.即若下面,我们讨论子空间的和
2、是直和的等价条件.则;3).2)显然的.证明1)3)2),则,由,因而,故的分解式为3)1)设中的向量，于是,由，故＝0,于是这就是说，中的每一个向量的分解式都是唯一的,为直和.即对有限维子空间,我们有上的线性空间定理7.2设为数域的两个有限维子空间.则下列命题等价:1)是直和;2),则的一个基和3)分别取是的基.证明1)2)由是直和及定理7.1可得由维数公式得2)成立..故,3)分别取2)的一个基和,则从而,.故的秩从而线性无关,即是的基.3)1)设的基分别为和,则是的基.,令.设于是.故维线性空间
3、上的为数域定理6.3设的子空间.由线性无关,故,即，从而.故中的每一个向量的分解式是唯一的,即为直和.的一个子空间则存在,使,将其扩充为证明在中取一组基的基，令.由定理6.4可知,是直和,故，则定义6.2设为数域上的线性空间的子空间.若存在,使的子空间为称的余子空间.子空间的直和概念可以推广到有限个子空间的情况.的余子空间.向量构成的子空间都是则任意一条过原点但不在平面上的直线上的所有中,设是过原点的固定平面上的所有向量构成的子空间.定理6.3说明了余子空间的存在性,但余子空间不是唯一的.例如,在几何
4、空间定义6.3设上的线性空间均为数域的分解式每一个向量,的子空间.若中的都是唯一的.称为直和,记为.与定理6.1及定理6.2类似,我们可以给出有限个子空间的和是直和的等价条件.定理6.4设均为数域上的线性空间的子空间.则下列命题等价:1)为直和;2)中的零向量分解式一的;3);4);5)各取合起来构成的基.例3设的子空间,证明:证明首先证明.显然.,有由,，故,,从而,于是.故再证是直和.,则,,即,故综上所述,.,故,从而是直和.学习与创新设w为数域p上的n维线性空间的子空间.则w的余子空间不是唯一
5、的.讨论w的余子空间唯一的充要条件.
