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时间:2018-10-20
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1、§2标准正交基§7向量到子空间的距离一.向量到子空间的距离1.向量间的距离(1)定义:长度称为向量和的距离,记为.(2)基本性质①②,并且仅当时等号才成立;③(三角形不等式)2.向量到子空间的距离(1)固定向量,如果与子空间中每个向量垂直,称垂直于子空间,记.如果,则(2)向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.2.如图示意,对给定,设是中的满足,的向量,要证明对,有(1)证明:,因是子空间,则,故,由勾股定理即(1)成立.二.最小二乘法1.问题提出,实系数线性方程组(2)可能无解,即任意都可能使(3)不等于零,设法找实数组使(3)最小这样的为方程组(2)的最小二乘解,此问题叫最小二
2、乘法问题.2.问题的解决在(1)之下再设(4)用距离的概念,(3)就是由(4)知找使(3)最小,等价于找子空间中向量使到它的距离比到中其它向量的距离都短.设,为此必这等价于(5)即,这样(5)等价于或(6)(6)就是最小二乘解所满足的代数方程.例.已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成份有关.下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值:我们想找出对的一个近似公式.解:把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势近于一条直线.因此我们决定选取的一次式来表达.当然最好能选到适当的使得下面的等式,,,都成立.实际上是不可能的。任何代入上面各式都发生些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方
3、和最小,即找使最小.易知,最小二乘解所满足的方程就是即为解得(取三位有效数字).小结:向量的距离、最小二乘法
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