§7向量到子空间的距离

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1、§2标准正交基§7向量到子空间的距离一.向量到子空间的距离1.向量间的距离(1)定义：长度称为向量和的距离，记为.(2)基本性质①②,并且仅当时等号才成立；③（三角形不等式）2.向量到子空间的距离(1)固定向量，如果与子空间中每个向量垂直，称垂直于子空间,记.如果,则(2)向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.2.如图示意，对给定,设是中的满足，的向量，要证明对，有（1）证明：,因是子空间，则,故,由勾股定理即（1）成立.二.最小二乘法1.问题提出，实系数线性方程组（2）可能无解，即任意都可能使（3）不等于零，设法找实数组使（3）最小这样的为方程组（2）的最小二乘解，此问题叫最小二

2、乘法问题.2.问题的解决在（1）之下再设（4）用距离的概念，（3）就是由（4）知找使（3）最小，等价于找子空间中向量使到它的距离比到中其它向量的距离都短.设,为此必这等价于（5）即,这样（5）等价于或（6）（6）就是最小二乘解所满足的代数方程.例.已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成份有关.下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值：我们想找出对的一个近似公式.解:把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线.因此我们决定选取的一次式来表达.当然最好能选到适当的使得下面的等式,,,都成立.实际上是不可能的。任何代入上面各式都发生些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方

3、和最小，即找使最小.易知,最小二乘解所满足的方程就是即为解得（取三位有效数字）.小结：向量的距离、最小二乘法