&amp#167;7. 子空间的直和.doc

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1、§7.子空间的直和一直和的定义引入设　　为线性空间V的两个子空间，由维数公式有两种情形：此时即，　　　必含非零向量.此时　　　不含非零向量，即情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和一、直和的定义设　　为线性空间V的两个子空间，若和中每个向量　的分解式是唯一的，和　　　就称为直和，记作注:①分解式　　　　　唯一的，意即若有则②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，，的子空间这里，在和　　　中，向量的分解式不唯一，如所以和　　　不是直和.而在和　　　中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，事实上，

2、对　　　　　　　　　　　都只有唯一分解式：故　　　是直和.　二、直和的判定1、(定理8)和　　　是直和的充要条件是零向量分解式唯一，即若则必有证：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式充分性.设　　　　　，它有两个分解式于是其中由零向量分解成唯一，且有即的分解式唯一.故　　　　是直和.2、和　　　是直和证：“　　”　若则有即是直和.“　　”　任取于是零向量可表成由于　　　是直和，零向量分解式唯一，故3、和　　　是直和证：由维数公式有，是直和.（由2、得之）总之，设　　　为线性空间V的子空间，则下面四个条

3、件等价:1）　　　是直和2）零向量分解式唯一3）4）4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，则必存在一个子空间W，使称这样的W为U的一个余子空间.证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则注余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).如，在中，设则但5、设　　　　　　　　　　分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，若　　　　　　　　　　线性无关，则它是的一组基.从而有是直和.反之,若　直和，则从而　　　　　　　　　　的秩为r＋s.所以　　　　　　　　　　线性无关.三、推广　　多个子空间的

4、直和1、定义都是线性空间V的子空间，若和中每个向量　的分解式是唯一的，则和　　　就称为直和，记作2、判定设　　　　　都是线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:1）　　　　是直和2）零向量分解式唯一，即3）4）例1　设V1、V2分别是齐次线性方程组①与②解空间：②证明:证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系考虑向量组由于线性无关，即它为的一组基.又例2、每一个n维线性空间都可以表示成　n个一维子空间的直和.证：设　　　　　　是　n　维线性空间V的一组基,则而得证

5、.小结：直和的定义与三个判定方法。