《3.3.2利用导数研究函数的极值》教学案3

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1、《3.3.2利用导数研究函数的极值》教学案【教学目标】1、理解极值、最值的概念；2、掌握求可导函数的极值与最值的步骤.【教学重点难点】极值与最值得概念和判别方法，以及求可导函数的极值与最值的步骤.【教学过程】(一)要点梳理一.函数的极值1.函数极值定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个，记作y极大值=f(x0)，x0是如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个，

2、记作y极小值=f(x0)，x0是.极大值与极小值统称为极值2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的，是极小值.3.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根

3、处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值二.函数的最大值与最小值1.函数的最大值与最小值：在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．2.利用导数求函数的最值步骤:设函数在在(a，b)内可导，在闭区间上图像连续不断，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较，得出函数在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(二)疑难点、易错点剖析1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，

4、极值点是自变量的值，极值指的是函数值.此外请注意以下几点：(ⅰ)极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ⅱ)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的

5、内部，也可能在区间的端点.(V)可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点.(Vi)函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导.如函数y=

6、x

7、在x=0有极小值，但在x=0处不可导即导数不存在.2.思考函数的最值注意点.(三)典例剖析例1.已知函数(1)求函数的极值(2)求函数在区间[-3，4]上的最大值，最小值变式1、设函数在x＝1处取得极大值－2，则a＝.2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是.3、例2:求函数f

8、(x)=x+的极值例3、设f(x)=，(1)求函数的单调区间；(2)当x∈［-1，2］时，f(x)

9、；(3)函数y=f(x)在区间(-2，2)内单调递增；(4)当x=-1/2时，函数y=f(x)有极大值；(5)当x=2时，函数y=f(x)有极大值；则上述判断中正确的是.A①③B③⑤C①⑤D③④4.若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是___.5.已知为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为.6设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是7．f(x)=1+3sinx+4cosx取得最大值时，tanx=8．已知

10、函数．(1)若在[1，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是的极值点，求在[1，a]上的最小值和最大值∴　f(x)在，上的最小值是，最大值是.