《3.3.2利用导数研究函数的极值》课件2

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1、3.3.2利用导数研究函数的极值利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小．f′(x0)＝0只是函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有，则

2、称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为．f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条，该函数在[a，b]上一定能够取得与，该函数在(a，b)内是，该函数的最值必在取得．连续不断的曲线最大值最小值可导的极值点或区间端点3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；(2)如果在

3、x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)函数f(x)的极值．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0小不是[例1]求函数y＝－x3＋12x＋6的极值．[解析](1)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)．令y′＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)y′－0＋0－y极小值－10极大值22当x＝－2时，y有极小值，并且y极小值＝f(－2)＝－10；而当x＝2时，y有极大值，并且y极大值＝f(2)＝22.[规律方法]一般地，求函数y＝f(x

4、)的极值的步骤是：(1)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．[解析]f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因为，当x＝－1时函

5、数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22.[例2]已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处有极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c值．[分析]对参数的分类讨论是本题的难点．[解析]f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)当a＞0时，x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值(2)当a＜0时，x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大

6、值[说明]本题从逆向思维的角度出发根据题设条件进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化．[例3]求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3(x∈[－3，2])的最大值和最小值．[解析]f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x－1)(x＋1)由f′(x)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1，0)0(0，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5∴当x＝－3时，f(x)取得最小值－60，当x＝－1或x＝1时，函数f(x)取得最大值4.[规律方法]函数最值的求法求函数f

7、(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，求出使得f′(x)＝0的所有点；(3)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(4)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1，1]上的最值．[解析]f′(x)＝3x