《3.3.2函数的极值与导数》课件2

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1、圆锥曲线与方程第三章3.3导数在研究函数中的应用第2课时　函数的极值与导数第三章典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1自主预习学案结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.重点：利用导数的知识求函数的极值．难点：函数的极值与导数的关系.新知导学函数的极值与导数的关系1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递______，f′(x)_____0，右侧f(x)单调递_____

2、，f′(x)_____0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f′(a)______0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有__________．我们把点a叫做函数f(x)的极_______值点，f(a)是函数的一个极______值；把点b叫做函数f(x)的极_____值点，f(b)是函数的一个极______值．增>减<＝(c，f(c))(d，f(d))大大小小2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的

3、所有点x，如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________；如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得_________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为_____，极大值点与极小值点统称为_______．f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点3．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧_

4、_______的点而言的．(2)极值点是函数__________的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_______极值．附近定义域内没有(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极______值．(如图)大牛刀小试1．函数y＝x3＋1的极大值是()A．1B．0C．2D．不存在[答案]D[解析]∵y′＝3x2≥0在R上

5、恒成立，∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，∴函数y＝x3＋1无极值．[答案]A3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0

6、)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减．当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故①②错，③④对．4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9[答案]D典例探究学案[分析]首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．利用导数求函数的极值[方法规律总结]1.当函数f(x)

7、在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．2．利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个

8、小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．设函数f(x)＝x3－ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.(1)求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9，∵f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.∴f(x)