《2.2.1双曲线及其标准方程》教学案1

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1、2.2.1《双曲线及标准方程》教学案教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么？(学生口述椭圆的定义，教师利用C

2、AI课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)(2a>｜F1F2｜)的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：(同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题)师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)二、定义探究师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？(引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：｜PF1｜-｜PF2

3、｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a)师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果｜PF1｜＞｜PF2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？（引导学生思考，此时只需在

4、

5、-

6、

7、=2a左边加上绝对值）师：作为此时差的绝对值2a与

8、

9、大小关系怎么样？（结合图象，学生分析：应该2a<

10、

11、）(在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书)三、方程

12、推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？(学生口述教师板书椭圆的标准方程)师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x、y)，｜F1F2｜=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0).由两点间距离公式，得｜PF1｜=，｜PF2｜=由双曲线定义，得｜PF1｜-｜PF2｜=±2a即-=±2a化简方程

13、=±2a+两边平方，得(x+c)2+y2=4a2±4a+(x-c)2+y2化简得：cx-a2=±两边再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2也就是x2/a2-y2/b2=1师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a＞0，b＞0的条件是不可缺少的.b的选取不仅

14、使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c2=a2+b2，区别其与椭圆中a2=b2+c2的不同之处.师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？（引导学生类比椭圆得到焦点在y轴上时双曲线的标准方程：此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）师：如何记忆这两个标准方程？(师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”)四、巩固内化例：已知两定点，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程.变式：(1)若两定点为则轨迹方程如何？变式：(2)若两定

15、点为则轨迹方程如何？(例由师生共同分析共同完成，(1)、(2)由学生完成)方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量.五、课堂小结(1)双曲线的定义及其标准方程;(2)把握方程中的3个常数a，b，c间的关系:c2=a2+b2.如何确定焦点位置，会求双曲线的标准方程;（3）体会双曲线标准方程的探究过程，感受数学知识的和谐，对称美.师：（给出彗星运行的图片）唐代诗人李贺曾在《梦天》中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景.彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道