《2.4 正态分布》导学案2

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1、《2.4正态分布》导学案2【课标要求】1.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.【核心扫描】1.正态分布曲线的特点及其所表示的意义.(重点)2.正态分布中参数μ,σ的意义及其对正态分布曲线形状的影响.(易混点)3.利用正态分布解决实际问题.(难点)自学导引1.正态曲线的概念正态总体函数φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞),其中μ表示总体平均值,σ

2、表示标准差,函数的图象叫正态分布密度曲线,简称正态曲线.特例:当μ=0,σ=1时,函数表达式是f(x)=e-,x∈(-∞,+∞),相应的曲线称为标准正态曲线.想一想:函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义是什么?提示 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.2.正态分布(1)一般地,若对于任何实数,a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称X服从正态分布.(2)正态分布记作:N(μ,σ2

3、),若X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2).正态分布完全由参数μ和σ确定,若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2,=σ.想一想:若随机变量X~N(μ,σ2),则X是离散型随机变量吗?提示 若X~N(μ,σ2),则X不是离散型随机变量,由正态分布的定义:P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx可知,X可取(a,b]内的任何值,故X不是离散型随机变量,它是连续型随机变量.3.正态曲线的特点正态曲线φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞)有以下性质:(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是

4、单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.试一试:如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系如何?提示 当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=e-在x=0时取最大值,故σ2=1,由正态曲线的性质,当μ一

5、定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,σ越大,曲线越“矮胖”,于是有σ1<σ2=1<σ3.故σ1<σ2<σ3.4.正态分布的3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4.(2)3σ原则在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.正态总体几乎取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间

6、外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.试一试:已知随机变量X~N(0,1),你能求出X在区间(-3,+∞)内取值的概率吗?提示 由X~N(0,1)可知,μ=0,σ=1.结合密度函数的图象可知P(X≥-3)=P(-3≤X≤3)+=0.9987.名师点睛1.正态曲线正态曲线指的是一个函数的图象,这个函数就是总体的概率密度函数,其解析式是φμ,σ(x)=e-.对于这个函数解析式,要注意下面几点:(1)函数的自变量是x,定义域是R,即x∈(-∞,+∞).(2)解析式中含有两个常

7、数:π和e,这是两个无理数,其中π是圆周率,e是自然对数的底数,即自然常数.(3)解析式中含有两个参数:μ和σ.其中μ可取任意实数;σ>0.在不同的正态分布中μ、σ的取值是不同的,这是正态分布的两个特征数.(4)解析式中前面有一个系数,后面是一个以e为底数的指数函数的形式,幂指数为-,其中σ这个参数在解析中的两个位置上出现,注意两者的一致性.2.正态分布(1)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a,b]上的概率等于总体密度函数在[a,b]上的定积分值.也就是指随机变量X的取值区间在(a,b

8、]上时的概率等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图形的面积.(2)正态分布是自然界最常见的一种分布,例如:测量的误差;人的身高、体重等;农作物的收获量;工厂产品的尺寸:直径、长度、宽度、高度……都近似地服从正态分布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用不太大,则这个指标服从正态分布.(3)从正态曲线可以看出,对于固定的μ和σ而言,随机变量取值在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率随着σ的减

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