《1.5.2 二项式系数的性质》 导学案

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1、《1.5.2二项式系数的性质》导学案学习目标1.熟练掌握二项展开式的通项公式.2.注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用.3.理解二项式系数的性质.重点熟练掌握二项展开式的通项公式；理解二项式系数的性质.难点注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用.教学过程观察下面的三角形相邻两行数:请根据上述规律写出下一行的数值.问题1:从上述杨辉三角中你发现的规律是对称性，二项式系数有哪些性质？(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 =　. (2)增减性与最大值:二项式系数，当r<时，二项式系数是递增的；当r>时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间一项的

2、二项式系数 　取得最大值. 当n是奇数时，中间两项 　和 　相等，且同时取得最大值. (3)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即 +++…++…+=2n　. (4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 +++…=+++…=2n-1　. 问题2:二项式系数与展开式项的系数的异同在Tr+1=an-rbr中，就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关，而Tr+1项的系数是指化简后字母外的数.问题3:二项式定理的应用(1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求　指定的项或指定项的系数　等. (2)展开式的应用:利用展开式可证明与二项式系数

3、有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等.问题4:二项式系数与项的系数不同，在求某几项的系数的和时注意　赋值　法的应用. 二项式定理的发现历程二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于杨辉的《详解九章算法》之中.在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图.但一般称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个规律.无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右

4、.1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明.1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的.学习交流1.若(x+)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　).A.10　　　　B.20　　　　C.30　　　　D.120【解析】令x=1，有2n=64⇒n=6，Tr+1=x6-r·x-r=x6-2r，令6-2r=0，得r=3，∴T4==20.【答案】B2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn，若a1+a2+…+an=63，则展开式中系数最大的项是(　　).A.15x2　B.20x3C.21

5、x3D.35x3【解析】令x=0，可得a0=1.令x=1，则(1+1)n=++…+=64，∴n=6.故(1+x)6的展开式中最大项为T4=x3=20x3，选B.【答案】B3.(1+x)3(1+)3的展开式中的系数是　　　　. 【解析】利用二项式定理得(1+x)3(1+)3的展开式的各项为xr·x-n=xr-n，令r-n=-1，故可得展开式中含项的是++=，即(1+x)3(1+)3的展开式中的系数是15.【答案】154.若等式x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5对一切x∈R都成立，其中a0，a1，a2，…，a5为

6、实常数，求a4的值.【解析】x5=[(1+x)-1]5=(1+x)5(-1)0+(1+x)4(-1)1+(1+x)3(-1)2+(1+x)2(-1)3+(1+x)·(-1)4+(-1)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5，所以a4=-=-5.5.赋值法求展开式各项系数的和已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+…+a6x+a7，求a0+a1+a2+…+a6+a7的值.【方法指导】根据二项式定理对于任意的x恒成立，可以采用赋值法，令x=1求得各项系数之和.【解析】令x=1得a0+a1+a2+…+a7=27.【小结】

7、根据二项式定理是一个恒等式，在这个恒等式中给定字母一些特殊的值可以求出各项系数和、差等问题，这就是赋值法，其根据就是恒等式对字母取任意值恒成立，当然对特殊值也成立，这个方法体现了一般与特殊的数学思想方法.6.用二项式定理求三项式的展开式的项(++)5的展开式整理后的常数项为　　　　. 【方法指导】本题为(a+b+c)n型问题，解法较多，一般思路是先将三项和看作两项和，即将其中的两项和看作一项，求出展开式的通项，在通项中，将看作一项的两项和再次进行二项展开求出通项，在通项中令x的指数为0，求出r的值，从而求出常数项.【解析】(法