二项式系数的性质导学案

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1、课题二项式系数的性质导学案自主预习案一、预习目标：了解“杨辉三角”，认识“杨辉三角”中行、列数字的特点及其组合数的性质、二项式系数之间的联系。二、预习内容：阅读P.26-27内容，了解二项式系数表及杨辉三角，探索归纳出二项式系数的性质。导入新课1．二项式定理及其特例：（1）（2）2．二项展开式的通项公式：新课探究1二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，如下表所示：………………………………………………………………………………………………………………………图1图2上表叫表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于早在1621年，我国

2、南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中就有类似的表（如上图2），这个表称为。利用这一性质，可根据相应于的各项二项式系数写出相应于的各项二项式系数。展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。2．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．5可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）、每一行两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即，这实际上是由组合数的性质得到的（2）、对称性．，在二项展开式的每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相

3、等，即：，这个性质实际上也是由组合数的性质得到的。直线是图象的对称轴．（3）、增减性与最大值．二项式系数先增大，到达某一值后又逐渐减小，并且二项式系数最大的项必在位置上，也就是说，二项式系数先从1开始递增，达到中间位置取最大值，然后又逐渐递减到1.当是偶数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间一项，即项的二项式系数最大，最大值为；当是奇数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间两项，即第项，和第项的二项式系数相等且最大，最大值为=。（4）、二项展开式中各项系数的和等于，即在中，令，则有探究展示案一、学习目标：结合杨辉三角掌握二项式系数的概

4、念和性质，并能利用这些性质计算和证明一些与二项式展开有关的简单问题。二、合作学习例1：（自主学习）根据“杨辉三角”写出：（1）的二项式系数；（2）展开式中的第3项的系数.例2：（小组合作）写出的展开式中：（1）通项；（2）二项式系数最大的项；（3）各项的系数绝对值最大的项；(4)各项的系数最大的项；（5）各项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和。5例3：运用二项式定理证明：（1）；（2）（3）结论（1）、（2）分别表示什么意思？点评：和是两个重要的结论，大家要熟练掌握。例4：利用赋值法求证：.合作提高1.已知，求：（1）；（2

5、）；（３）；（４）2.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中的系数为（）A、-150B、150C、300D、-3003.已知，则等于（　　）A、　B、　C、　　D、4.在的展开式中，各项系数的和是　　　　　.5.已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项56证明：能被7整除。7今天是星期一，则过2102天后是星期几？课堂小结：1．性质是组合数公式的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项

6、式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。二、当堂检测www.xkb1.com１.若的展开式中各项系数之和为６４，则展开式的常数项为（　　　）A、　B、　C、　　D、２.设，则中奇数的个数为（　　　）A、２B、３C、４D、５３.展开式中，所有项的系数之和为　　　　　；展开式中的系数为　　　　　　　　　.４.在的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;　③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;　④奇数项系数和与偶数项系数和;　⑤的奇次项系数和与的偶次

7、项系数和.55