二项式“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案.doc

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1、“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案学习目标：1.了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；2.通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；学习重点：二项式系数的性质及其应用；学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。学习过程：学习提纲：杨辉三角的来历及规律（阅读课本，回答问题）问题1：根据 （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？对于展开式的二项式系数，

2、，，…，，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)=，定义域为{0，1，2，…，n}问题3：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。二项式系数的重要性质1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即=分析：2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。提示：（1）讨论与的大小关系。（2）讨论与1的大小关系。3、各项二项式系数的和：的展开式中的各个二项式系数的和为2n分析：赋值法的应用。链接:若一个集合有元素，则

3、它的子集有个典型例题（性质4）试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。分析：奇数项的二项式系数的和为+++…，偶数项的二项式系数的和为+++…，由于中的可以取任意实数，因此我们可以通过对适当赋值来得到上述两个系数和。当堂检测1、已知=a，=b，那么=__________；2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；3、++…+=________；4、__________；5、证明：+++…+=2n-1(n是偶数)；作业：课本第3题，组7、8题，组1、2题补充作业1

4、、在（a+b）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（）（A）第15项(B)第16项(C)第17项(D)第18项2、（1—x）13的展开式中系数最小的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第8项(D)第9项3、若与同时取得最大值，则m=_____________4、已知（1—2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7则a1+a2+…+a7=__________a1+a3+a5+a7=__________a0+a2+a4+a6=__________5、已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式

5、系数最大的项的系数．6、在（a+b）10的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项7、在（a—b）10的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项8、在（a+b）11的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项9、在（a—b）11的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项参考答案1：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情

6、况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？蕴含规律：1、同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；2、相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。3、设表中任一不为1的数为C，那么它肩上的两个数分别为C及C，即C=C+C，对于(a+b)n展开式的二项式系数，，，…，，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)=，定义域为{0，1，2，…，2：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。三、二项式系数的重要性质1

7、、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即=2、增减性与最大值由于所以相对于增减情况由决定，由>1可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。3、各项二项式系数的和(1+x)n =+x+x2+…+xr+…+xn,思考：+++…+=？由于x为任意实数，上式中令x=1，则得：2n=+++…+也就是说，(a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n说明：这种方法是赋值法，

8、是解决二项展开系数有关问题的重要手段。【目标检测】（A级）练习：(1)、在（a+b）10的展开式中，系数最大的项是（A）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项(2)、在（a—b）10的展开式中，系数最大的项是（D）（A）第6项(B)第7项(C)第6项