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1、MATLAB数值计算(读书日记及程序编写)第八章傅里叶分析2第八章傅里叶分析#连续函数与傅里叶级数傅里叶级数：假设角速度为1ezplot('y-4/pi*cos(x)',[-10,10])ezplot('y-4/pi*cos(x)+4/(3*pi)*cos(3*x)',[-10,10])ezplot('y-4/pi*cos(x)+4/(3*pi)*cos(3*x)-4/(5*pi)*cos(5*x)',[-10,10])ezplot('y-4/pi*cos(x)+4/(3*pi)*cos(3*x)-4/(5*pi)*cos(5*x)+4/(7*
2、pi)*cos(7*x)',[-10,10])#傅里叶变换的基本思想傅里叶级数是研究周期函数频谱的有力工具，但是有许多波形并不是很有规律的重复，例如闪电只发生一次，但是它会对很宽频率范围内的无线电接收设备产生干扰，这意味着这种非重复信号具有连续频谱。要实现从周期函数到非周期函数的过渡，只要让周期函数的周期T趋近于无穷即可，也就是说T为无穷时，函数将永远不会重复,就变成了非周期函数。傅里叶变换公式如下：通过傅里叶变换，以时间t积分(-∞，∞)的时域函数变到了以角频率ω。为复函数，有振幅谱和相位谱。傅里叶逆变换公式如下：如果f(t)为实函数，去除虚
3、部，则上式变成：这两个公式称为傅里叶变化对举例说明一个门函数（矩形脉冲函数）的傅里叶变换：，进行傅里叶变换：(复变函数，复积分概念)通过Matlab画出曲线：symsomg;y=sin(omg/2)/omg;ezplot(y,-20,20);（这里门函数的τ=1,可以看出最丰富的频谱在于-2π和2π间，为正值时，相位为0，为负值时，相位为π或者-π）需要注意的是傅里叶变换出来后是有实部和虚部的区别的，而出现的复数的原因就是存在相位差，和电学上的复数的存在是一样的，如果电流电压采用复函数表示的话，傅里叶变换也可以变换出复函数来，如果f(t)是实函
4、数，则变换出实函数来。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权有密度上的差别，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱
5、上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的—实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。另外，拉普拉斯变换的公式是：#离散
6、信号的傅里叶变换ω是一个单位1的n次单位根：傅里叶变换可以表示成矩阵向量乘：矩阵F中的各元素为：#MATLAB的Sound命令SOUNDPlayvectorassound.SOUND(Y,FS)sendsthesignalinvectorY(withsamplefrequencyFS)outtothespeakeronplatformsthatsupportsound.ValuesinYareassumedtobeintherange-1.0<=y<=1.0.Valuesoutsidethatrangeareclipped.Stereosoun
7、dsareplayed,onplatformsthatsupportit,whenYisanN-by-2matrix.SOUND(Y)playsthesoundatthedefaultsamplerateof8192Hz.SOUND(Y,FS,BITS)playsthesoundusingBITSbits/sampleifpossible.MostplatformssupportBITS=8or16.Example:loadhandelsound(y,Fs)YoushouldhearasnippetofHandel'sHallelujahCho
8、rus.当我们将采样频率Fs设定为Fs=4000,可以发现声音低沉了许多。Fs=4000sound(y,Fs)当将采样频率Fs设定为Fs=10000,
