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1、实验七 傅里叶变换一、实验目的傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB提供了专门的函数fft、ifft、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft、ifft以及fftshift函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。二、实验预备知识1.离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(
2、FFT)简介设x(t)是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为显然X(f)代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X(f)是复数。而傅里叶逆变换定义为：因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。x(t)d脉冲序列x(t)d(t－nT)ttt由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换
3、进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x(t)进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列:d(t－nT),n=0,1,2,…,N－1；可以实现上述目的，如图所示。其中N为采样点数，T为采样周期；fs=1/T是采样频率。注意采样时，采样频率fs必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。接下来对离散后的时域波形的傅里叶变换进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的d脉冲序列：d(f－n/T0),n=0,1,2,…,N－1；T0=NT为总采样时间可以实现傅里叶变换的离散化，如下图示。不难看出，离
4、散后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率)fffd(f－n/T0)X(f)混迭因此要增加分辨率须增加采样点数目N。频域上每个离散点对应的频率为:显然n=0的点对应于直流成分。经过以上离散化处理之后，连续积分的傅里叶变换(1)式转变为如下离散形式：其中tk=kT（k=0,1,2,…,N-1）代表采样点时刻。X(fn)一般是复数，因此离散傅里叶变换(DFT)后变成一个N点（采样点数）的复数序列。X(fn)绝对值代表振幅，其幅角代表相位，因此由(5)式可以给出DFT的振幅频谱和相位频谱。(5)式通常又简写成如下形式：
5、其中，x是采样点数据，它是一个N个点的向量，DFT的结果X是N个点的复数向量。(5)式或(6)式就是对傅里叶变换进行数值计算的基础。一般采样点数N越大，DFT的结果越接近真实的情况，但是当N较大时，(6)式的计算量很大，因为使用计算机求解(6)式时，总共要执行N2次复数乘法和N×(N-1)次复数加法。所以直接用DFT算法（即(5)式）进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。为了减轻计算的压力，人们提出了一种所谓快速傅里叶变换(FFT)的思想：取N=2m，首先将N个点的采样数据分成两个N/2点的序列：（偶数序列）（奇数序列）这样处理的
6、好处是可以把(6)式分解为两个N/2点的DFT，使计算量降下来。接下来再将N/2点的序列x1仿照上述做法进一步分裂成2个N/4点的序列x3和x4，另一序列x2亦做如此处理，分裂成2个N/4点的序列x5和x6。这样两个N/2点的序列分成了更短的4个N/4点的序列，依次类推，最后的结果是将一个N点的序列x裂成了N个点的单点序列：x0,x1,x2,…,xN-1。这样做可以将DFT的运算效率提高1－2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，从而推动数字处理技术的发展。由此可见FFT的思想实质是不断地把长序列的DFT计
7、算分解成若干短序列的DFT，并利用旋转因子(即WN)的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。所以FFT就是DFT的快速算法。有关FFT算法的详细介绍和理论推导参见有关的书籍，这里不做进一步介绍。2.FFT的MATLAB实现为了实现快速傅里叶变换，MATLAB提供了fft、ifft、fft2、ifft2以及fftshift函数，分别用于一维和二维离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换。借助这些函数可以完成很多信号处理任务。考虑到信号处理包含的领域很广泛，这里只介绍一维傅里叶变换及其逆变换函数。(1)fft函数该函数使用了快速算法来实现时域
8、信号的离散傅里叶变换。常用的格式：Y=fft(x)Y=fft(x,m)Ｙ 返回值（复数），返回m点的DFT序列，即(6)式左边的X；m 计算时使用的数据点数（样本数）；x 时域信号x(t)在采样点tk处的值，即(6)式右边的x；若实际
