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1、实验四傅里叶变换一、实验目的傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域內的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将吋域上的波形分布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB提供了专门的函数fft>ifft、ff(2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift用于实现对信号的傅里叶变换。木次实验的目的就是练习使用fftufft以及fftshift函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性(包插幅频和相频特性)。二、实验预备知识1.离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介设兀⑴是给定的时域上的一个波形，则具傅里叶变换
2、为»⑴严叫丫(1)显然X(.f)代表频域上的一•种分布(波形)，-•般来说X(.f)是复数。而傅里叶逆变换定义为:呵妙(2)因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。由于傅里叶变换的广泛应用,人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换,这就需要对傅里叶变换(即⑴式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，山于处理的対象具有离散性，因此也需要対傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x(/)进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列:6(t~nT).
3、n=0,1,2,...,N—I:可以实现上述冃的，如图所示。其中N为采样点数，T为采样周期;fs=1/T是采样频率。注意采样时，采样频率成必须大于两倍的信号频率(实际是截止频率)，才能避免混迭效应。接卜•來对离散后的时域波形x(t)=x(t)3(t-nT)=x(nT)的傅里叶变换文(/)进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的/脉冲序列：3(f-n/To),n=O,1,2,7V-1；2NT为总采样时间可以实现傅里叶变换乂丁)的离散化，如卜-图示。不难看出，离散后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率)丄=丄—厶T()NTNjqYlf飞二丽二哈归丄—X(f)8(f
4、—n/To)显然H=0的点对应于直流成分。经过以上离散化处理Z后，连续积分的傅里叶变换（1）式转变为如下离散形式：混迭x(九)=£Xge-SZN,兀=0丄2,・・・，N—1(5)"0其中tk=好以=0,1,2,）代表采样点时刻。X（九）一般是复数，因此离散傅里叶变换（DFT）后变成一个N点（釆样点数）的复数序列。X（九）绝对值代表振幅，其幅角代表相位，因此由（5）式可以给出DFT的振幅频谱和相位频谱。（5）式通常乂简写成如卜•形式：N-IX(n)=》＞(k)W&77=0,l,2,..・,N—l(6)Jt=0具屮=e~j27llN,x是釆样点数据，它是一个N个点的向量，DFT的结果X是N
5、个点的复数向量。（5）式或（6）式就是对傅里叶变换进行数值计算的基础。一般采样点数N越大，DFT的结果越接近真实的情况，但是当N较大时，（6）式的计算量很大，因为使用计算机求解（6）式时，总共要执行2次复数乘法和Nx（N-l）次复数加法。所以直接用DFT算法（即（5）式）进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。为了减轻计算的压力，人们提岀了一种所谓快速傅里叶变换（FFT）的思想：取首先将N个点的采样数据x=[%“.・.，心J分成两个N/2点的序列:兀]=[兀0,兀2，•••，兀冲_2]（偶数序列）（奇数序列）因此要增加分辨率须增加采样点数冃N。频域上每个离散点对应的频率为：这样处理的好
6、处是町以把（6）式分解为两个N/2点的DFT,使计算量降下来。接下来再将N/2点的序列山仿照上述做法进一步分裂成2个N/4点的序列和也，另一序列疋亦做如此处理，分裂成2个N/4点的序列羽和兀6。这样两个N/2点的序列分成了更短的4个N/4点的序列，依次类推，最后的结果是将一个N点的序列x裂成了N个点的单点序列：也山,也,…,xN.lo这样做可以将DFT的运算效率提高1一2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，从而推动数字处理技术的发展。山此可见FFT的思想实质是不断地把长序列的DFT计算分解成若干短序列的DFT,并利用旋转因子(即WQ的周期性和对称性来减少DF
7、T的运算次数。所以FFT就是DFT的快速算法。有关FFT算法的详细介绍和理论推导参见有关的书籍，这里不做进一步介绍。2.FFT的MATLAB实现为了实现快速傅里叶变换，MATLAB提供了fft、ifft、fft2、ifft2以及fftshift函数，分别用于一维和二维离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换。借助这些函数可以完成很多信号处理任务。考虑到信号处理包含的领域很广泛，这里只介绍一维傅里叶变换及其逆变换函数。(1)fft函数该函数使用了快速算
