各种信号傅里叶分析

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1、各类信号的Fourier分析1．连续周期信号(FS)设xp(t)是时域连续周期信号，周期为tp，且满足狄里克雷条件，则的Fourier级数存在系数cn是基波和各次谐波的幅值，计算公式为x(t)是xp(t)在[0,tp]之间的取值，称为xp(t)的主值区间设f(t)是连续非周期信号，且满足绝对可积条件，则f(t)的Fourier变换存在其中为f(t)的幅频特性，为f(t)的相频特性2．连续非周期信号Fourier变换的性质3．离散非周期信号(DTFT)离散序列x(n)满足绝对可和条件，则x(n)的Fourier变换存在由于，故X(jΩ)为周期为2π的周期函数，频谱的主

2、值区间为Ω=[0,2π]例：设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图所示。R4(n)的幅度与相位曲线4．离散周期信号(DFS)设xp(n)是周期为N的离散周期序列，xp(n)=xp(n+kN)，周期为N，则周期序列xp(n)可以像时间连续周期信号那样展开成Fourier级数其中k——为任意整数，ωk=kω0——k次谐波的角频率，——基波角频率，ck—k次谐波的幅度其中令XN(k)=Nck，则有将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…N-1，幅度为(1/N)XN(k)。基波分量的频率是2π

3、/N，幅度是(1/N)X1(k)。例:设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，周期为8，得到周期序列，求此序列的DFS。解：其幅度特性如图(b)所示。5．有限长序列(DFT)设x(n)长度为N的有限长序列，x(n)只在n=0到N-1有值，其他为0，可视为周期为N的周期序列xp(n)的一个主周期，把xp(n)看作是x(n)的周期延拓，即同理，有限长序列X(k)可看作周期序列Xp(k)的主值序列，周期序列Xp(k)可看作有限长序列X(k)的周期延拓，即由此可定义有限长序列的离散Fourier变换和逆变换例:x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和

4、16点DFT解：设变换区间N=8，则设变换区间N=16，则FFT结果的物理意义FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。模拟信号数字信号ADC采样采样频率2×信号频率N个采样点FFTN个点的FFT结果通常N取2的整数次方假设采样点数为N采样频率为Fs信号频率FFFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特

5、性。与原始信号的幅度的关系？假设原始信号的峰值为AFFT的结果的每个点(除了第1个点之外)模值=A×N/2相位=该频率下的信号的相位第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半份分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。某点n所表示的频率Fn=(n-1)*Fs/N频域分辨率(Fn所能分辨到频率):Fs/N如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到

6、1Hz。1024Hz的采样率，采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，则这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点(n≠1，且n≤N/2)对应的信号的表达式为：对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，

7、即小于采样频率一半的结果。例：假设有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。我们来看