信号的傅里叶分析(I)

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1、信号的傅里叶分析北京科技大学阳建宏2021/7/25傅里叶“Anarbitraryfunction,coutinousorwithdiscontinuities,definedinafiniteintervalbyanarbitrarilycapriciousgraphcanalwaysbeexpressedasasumofsinusoids”J.B.J.FourierFourier,JeanBaptisteJosephFrenchbaron,physicist,mathematician1768-1830Cooley,Tukey:FFTin

2、1965傅里叶傅里叶最主要的两个贡献：“周期函数都可以表示成为谐波关系的正弦函数的加权和”——傅里叶的第一个主要论点，即傅里叶级数“非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点，即傅里叶变换傅里叶分析1234傅里叶级数傅里叶变换离散傅里叶变换总结周期信号的傅里叶级数按“三角函数形式”展开：各参数分别为：上式可进一步表示为周期信号：周期信号的傅里叶级数并非任意的周期信号都能进行傅里叶级数展开充分条件：狄利克雷（Dirichlet）条件在一周期内，只存在有限个间断点在一周期内，只存在有限个极大值和极小值在一周期内，信号是绝

3、对可积的工程中的信号都满足上述条件所有周期信号都能进行傅里叶级数展开吗？例：周期性三角波的傅里叶级数0T0/2-T0/2Ax(t)t......周期信号的傅里叶级数—举例解：周期信号的傅里叶级数—举例因此，有：4A24A924A2520A()03050003050()A22幅值谱相位谱周期信号的傅里叶级数—举例三角函数形式展开：复指数函数形式展开：周期T内，n次谐波的幅值按下式计算，称为傅里叶系数：周期信号的傅里叶级数如何理解傅里叶系数的物理含义？待分析信号傅里叶级数的本质知识回顾：内积傅里叶级数->内积表示待分

4、析信号“滤波镜片”5Hz……2Hzx(t).*cos(2ft)=-5.7e-151Hzx(t).*cos(2ft)=-8.8e-15傅里叶级数的本质5Hz5Hz原始信号滤波镜片的信号4Hzx(t).*cos(2ft)=-2.2e-143Hzx(t).*cos(2ft)=-4.6e-14傅里叶级数的本质5Hz5Hz4.8Hzx(t).*cos(2ft)=74.55Hzx(t).*cos(2ft)=100傅里叶级数的本质5Hz5Hz当“滤波镜片”的频率与原始信号频率完全吻合时，计算结果达到最大5.2Hzx(t).*cos

5、(2ft)=77.56Hzx(t).*cos(2ft)=1.0e-14傅里叶级数的本质5Hz5Hz傅里叶级数的本质信号频率“滤波镜片频率”匹配值5Hz1Hz-8.8e-155Hz2Hz-5.7e-155Hz3Hz-4.6e-145Hz4Hz-2.2e-145Hz4.8Hz74.55Hz5Hz1005Hz5.2Hz77.55Hz6Hz1.0e-14时域图Hz5Hz频谱图频谱的定义：将信号x(t)的傅里叶系数Cn称为信号x(t)的频谱系数（SpectralCoefficients），简称频谱（Spectrum）。周期信号的频谱:周期信号中各

6、次谐波的幅值An和相位n随频率nω0的变化关系，一般为双边谱，若n≥0，称为单边谱，典型周期信号的谱图幅值谱相位谱典型周期信号的谱图周期矩形脉冲信号：幅值谱：相位谱：典型周期信号的谱图周期锯齿波：幅值谱：相位谱：周期信号的频谱特性离散性：每条谱线代表一个频率分量谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小20Hz80Hz120Hz叠加后得到20Hz80Hz120Hz离散性：每条谱线代表一个频率分量谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小周期信号的频谱特性对于复杂周期信号

7、：周期的确定根据各频率值的最大公约数的倒数来确定周期信号的频谱特性离散性：每条谱线代表一个频率分量；谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有时可以忽略。在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度.周期信号的频谱特性吉布斯现象如图所示方波，可分解为：周期信号的频谱特性吉布斯现象选取第一项傅里叶级数前两项傅里叶级数叠加周期信号的频谱特性吉布斯现象前四项傅里叶级数叠加不同级数项合成比较选取的傅

8、里叶级数的项数越多，在合成的波形中出现的峰起越靠近周期信号的不连续点选取项数N很大时，该峰起值趋于常值，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去傅里叶级数—小结