常微分方程的一般理论.docx

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1、第三章：常微分方程的一般理论3.2一阶常微分方程初值问题的存在和唯一性定义3.2.1在区间㛘٧옠ʆ㼰ؕ上给定某个连续函数序列，，，，，如果对于任意给定的，存在正数㛘，当，且时，对任意的㛘，，有成立，则我们称连续函数序列{}∞是等度连续的。如果存在n㛘一个与以及都无关的常数，使得，，㛘，，成立，则我们称函数序列{}∞是一致有界的。n㛘定理3.2.1（Ascoli-Arzela定理）有限闭区间上的一致有界，等度连续的函数列{}∞，

2、至少存在一个上一致收敛的子序列n㛘{}∞，并且其极限函数在上连续。n㛘引理3.2.1设是有限闭区间的稠密子集。如果中的函数序列{}∞是等度连续的且对xA，{}∞收敛，则函数序列n㛘n㛘∞在中是一致收敛的且其极限函数fx在中连续。n㛘定理3.2.2（皮亚诺存在性定理）设连ʆф在矩形区域㛘{ʆ：옠ʆ㼰}上连续，则初值问题3..在区间㛘ؕʆ٧上至少存在一个解，其中常数㼰㛘min옠ʆ，㛘max连ʆф连ʆф定理3.2.3（毕卡存在唯一性定理）设

3、ʆ在矩形区域㛘{ʆ：옠ʆ㼰}内连续，而且对满足ܑܘܛܑ܋条件：存在一个常数，使得对于所有的ʆ和ʆ，函数ʆ满足不等式ʆʆ则初值问题3..在区间㛘ؕʆ٧上有并且只有一个解，其中常数㼰㛘min옠ʆ，㛘max连ʆф连ʆф定理3.2.4设ʆ在区域G内对y满足ܘ䁱晦条件：ʆ在区域G内连续，而且满足不等式ʆʆ其中Fr是定义在r上的连续函数。而且广义积分d㛘

4、∞，其中是一个常数.dy则微分方程㛘ʆ在G内经过每个点都最多有一个解。dx引理3.2.2ܚܗܖ型不等式设和是区间٧ʆؕ上的实值非负连续函数。若对于ʆ，有ؕ٧dʆ其中的和是非负常数，则当ʆ时，我们有dؕ٧定理..ܖ䁬ܛᦙ存在定理如果ʆ是区域㛘{ʆ：ʆ}上的实解析函数，则初值问题（3.2.1）在的邻域中存在唯一的解析解㛘连ф，其中依赖于区域及函数ʆ的最

5、大值。3.4解的延拓与整体解引理3.4.1设是中的一个单连通区域，ʆ是区域中的连续函数。1.如果是方程dd㛘ʆ在区间ʆ㼰上的一个解，且集合ʆ：ʆ㼰是的子集，其中是的一个紧子集（有界闭集），则解㛘可以延拓到闭区间ʆ㼰上。2.如果是方程dd㛘ʆ在区间ʆ㼰上的一个解，连ф是方程在区间㼰ʆ㘮上的一个解，且㼰㛘连㼰ф，则函数，㼰，㼰㘮定理3.4.1设是中的一个单连通区域，ʆ是区域中的连续函数，ʆ是区域中任意给定的一点，并设Γ是常微分方程d㛘

6、ʆ3.4.4d的经过点ʆ的一条积分曲线，则积分曲线Γ在区域内延伸到区域的边界。定义3.4.1设是方程3.4.4定义在区间I上的一个解，连ф是方程3.4.4在区间옠ʆ㼰上的另一个解，其中I是옠ʆ㼰的子区间。如果对于xI满足，则我们说解是可延拓的，并称是在区间옠ʆ㼰上的一个延拓。相反，如果不存在满足上述条件的解，则我们称是方程3.4.4的一个饱和解。设函数ʆ在的一个子区域中有定义，如果对任意连ʆ)，存在点ʆ的某个在中的邻域ʆ内对于满足Lipschitz条件，则我们称

7、ʆ在区域内对于满足局部ܑܘܛܑ܋条件。定理3.4.2假设函数ʆ在的一个子区域内连续且关于满足局部Lipschitz条件，则方程3.4.4过内每一点存在唯一的饱和解。定理3.4.3设ʆ是㛘{ʆ옠㼰ʆ∞}上的连续函数，且在上关于y满足一致的Lipschitz条件，即存在常数，使得对任意ʆ和连ʆф满足ʆ连ʆф则方程3.4.4的每一个饱和解的存在区间都是옠ʆ㼰。3.5比较定理与解的存在区间估