常微分方程习题.docx

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1、习题2.4求解下列方程1、解：令，则，从而，于是求得方程参数形式得通解为.2、解：令，则，即，从而，于是求得方程参数形式得通解为.3、解：令，则，从而=，于是求得方程参数形式的通解为,另外，y=0也是方程的解.4、,为常数解：令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为.5、1解：令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为.6、解：令，则，得，所以，从而，于是求得方程参数形式的通解为，因此方程的通解为.习题2.52．解：两边同除以，得：即4．解：两边同除以，得令则即得到，即另外也是方程的解。6．解：得到即另外也是方程的解。8.解：令则：即得到故即另外也是方程的解。10．解：令即而故两边积分得到因

2、此原方程的解为，。12.解：令则即故方程的解为14．解：令则那么求得：故方程的解为或可写为16．解：令则即方程的解为18．解：将方程变形后得同除以得：令则即原方程的解为19.X(解：方程可化为2y(令27.解：令，，则，，，两边积分得即为方程的通解。另外，，即也是方程的解。28.解：两边同除以，方程可化为：令，则即，两边积分得即为方程的解。29.解：令，则，，那么即两边积分得即为方程的解。30.解：方程可化为两边积分得即为方程的解。31.解：方程可化为两边同除以，得即令，，则即两边积分得将代入得，即故32.解：方程可化为两边同加上，得（*）再由，可知（**）将（*）/（**）得即整理得两边积分

3、得即另外，也是方程的解。求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解：设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：由题意得即也即两边同除以，得即即为方程的解。摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：，又，由此即其中，解之得又时，；时，。故得，从而方程可化为当时，有米/秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正

4、比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：根据题意：故：即：(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为：36.解下列的黎卡提方程（1）解：原方程可转化为：观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为，代入（*）式得到：由（**）-（*）得：变量分离得：两边同时积分：即：故原方程的解为（2）解：原方程可化为：由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故变量分离再两边同时积分得：即故原方程的解为（3）解：原方程可化为：由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，故，该式是一个的伯努利方程两边同除以得到：

5、即：，令，则：，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：故：因此：原方程的解为：（4）解：原方程可化为：由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：即：则：即：故：原方程的解为：（5）解：原方程可化为：由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：即：则：故：原方程的解为：，即.（6）解：原方程可化为：由观察得到它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：即：则：从而：故原方程的解为：即：（7）解：由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是n=2的佰努利方程，两边同除以得：即：从而

6、：故原方程的解为：