资源描述：
《常微分方程习题19230》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题3.11.试用变量分离法求下列一阶微分方程的解.(1)解:分离变量得,两边积分得原方程的通解为(2)解:分离变量得,两边积分得原方程的通解为.也是原方程的解.(3)解:分离变量得,两边积分得原方程的通解为或(4)解:分离变量得,即.两边积分得,通解为(5)解:分离变量得,积分得,通解为.(6)解:分离变量得,积分得微分方程的通解为(7)解:分离变量得,积分得原方程的通解为.另外,也是解.(8)解:分离变量得,积分得原方程的通解为另外,34也是解.1.作适当的变量变换求解下列方程.(1)解:令,原方程变形为,分离变量
2、得,积分得,原方程的通解为(2)解:令,原方程变形为,分离变量得,积分得,原方程的通解为.(3)解:令得作代换,原方程变为齐次方程,再令,该齐次方程变为,分离变量得,两端积分得,原方程的通解为(4)解:令,原方程变形为,分离变量得,原方程的通解为.(5)解:原方程即,作代换,令,方程变为,分离变量得,原方程的通解为(6);34解:原方程即,令,方程变为齐次方程再令,后一方程又变为,积分得整理并代换变量得原方程的解散为:.(7)解:原方程即,亦即(1)令,(1)式可变为(2)作代换,(2)式变为(3)作代换,(3)式变为
3、,分离变量得(4)(4)式两端积分得,整理并代回变量得原方程的通解为1.已知,试求函数的一般表达式.解：原方程变形为，两端求导得，并由已知式子可知。求解该微分方程有，且，故4．求下列初值问题的解。(1)解:所给方程的通解为,满足初值条件的特解为(2)34解:原方程变形为,通解为,特解为(3)解:原方程变形为,通解为,特解为(4)解:原方程变形为,通解为,特解为(5)解:原方程变形为,通解为.特解为(6)解:5.证明方程经过变换可化为变量分离方程,并由此求解下列方程:(1)(2)证明:作变换,方程可变为,该方程为可分离变
4、量的微分方程.(1)作变换,方程可变为,即其通解为,即(2)作变换,方程可变为,即,其通解为,即原方程的通解为6.一曲线经过点,它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,试求该曲线方程.34解:设所求曲线方程为,切点为,则切线方程为.切线与轴的交点分别为,由中点坐标公式有,其通解为,所求曲线为补题7．设对任意均有，且，求解:由已知易得,故即,从而8．设函数在上连续，存在且满足关系式，试求此函数.解:由已知可得解得,再利用可得9．已知，求解:已知方程左端作变量代换,方程可变为,即,两端求导整理得微分方程:,其解为10．当
5、和取何值时，利用代换可以把方程化为齐次方程？解：在代换的作用下,方程变为,即34,要使该方程为齐次方程,则习题3.21.验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解.(1)解:因在全平面连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.原方程可变形为,即,原方程的通解为:(2)解:因在的区域上连续,具有一阶连续偏导数,且,故所给方程为恰当方程.原方程可变形为,即,所给方程的通解为:(3)解:因在全平面连续,具有一阶连续偏导数,且,故所给方程为恰当方程.方程左端的一个原函数为34原方程的通解为:(4)解:因在全平面连续,具有一阶
6、连续偏导数,且,故所给方程为恰当方程.易知,原方程的通解为:(5)题目有误,所给方程不是恰当方程.建议删掉，这类题不必要这么多，因第３题的求解包含该类题．(6)解:因在不包含的区域上连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.原方程可变形为,即所以原方程的通解为:,或(7)解:原方程即:,因在全平面连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.原方程变形为:,即所以方程的通解为:题目已换(8)解:因在区域上连续,具有一阶连续偏导数,且故所给方程为恰方程.从而存在使.由知34再利用得即有.所以方程左端的一个原函数为
7、通解为题目已换(9)解:因在区域上连续,具有一阶连续偏导数,且,故方程为恰当方程.又原方程的通解具有形式2.试求变量分离方程的积分因子.解:用乘方程的两端得,该方程为已分离变量的微分方程,即为恰当方程,故为原方程的积分因子.3.求下列方程的解:题目已换(1)解:,所给方程不是恰当方程,但因,故原方程有积分因子.从而方程为恰当方程,易知其通解为34(2)解:因,故原方程有积分因子.从而方程为恰当方程,其通解为,即题目已换(3)解:因,故方程有积分因子.从而为恰当方程,易知其通解为,也是解.或将通解写成(当时,)(4)解:
8、原方程可变形为,即,故原方程的通解为(5)解:所给方程不是恰当方程,可变形为(有积分因子)故通解为:,或.注意也是原方程的解.注:所给方程可看成是关于与的一阶线性微分方程.34(6)解:因,故原方程有积分因子.从而为恰当方程.其通解为,即(7)解:将方程分成两部分,Ⅰ:和Ⅱ:对方程Ⅰ而言,.对方程Ⅱ而言,原方程有积分因子,取利用可
