常微分方程习题(12)

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1、常微分方程期中测验试卷(3)班级________姓名_________学号_________得分_______1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，同它的通积分是______________

2、__.（4）.设M(x0,y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A)一个解（B）两个解(C)无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1,(B)y=±1(C)x=±1(D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，

3、且在x=1时，y=1,则在x=e时y=().(A)(B)(C)2(D)e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．　　（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必

4、为或．参考答案：1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B（2）．C（3）．A（4）．B（5）.A（6）.B7.A4.计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）.令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：

5、5.计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得确定出，原方程的通解为6.证明题证明由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。（2分）又由已知条件，知是方程的一个解。（4分）假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向的右侧（或左侧）延展．这样，过点就有两个不同解和．这与解的唯一性矛盾，因此不能是

6、有限值．