常微分方程的一般概念

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1、lllllll常线几一可微常系性类阶分分微数微可线离方分二分降性变程方阶方阶方量数程线程的程的学的性组高`全方建一微简阶微程模般分介方分举概方程方例念程程JohnBernoulli(1667-1748)OrdinaryDifferentialEquations(1)概念、建模代数方程—其解为特定常值，如方程二次方程、三角方程等；函数方程—其解为“函数”，如微分方程、积分方程等。§5.常微分方程的一般概念一.两个简单的例子例1求以原点为中心的一切圆所满足的微分方程。解圆心在原点的一切圆的直角坐标方程222xyr(r0为任意实数)(1

2、)3两边同时对x求导2x2yy0xdyx即y或,(2)ydxy由于满足这个方程的解(函数(1))有无穷多个(解族、解集),又称为通解,应注意222到通解xyr中有一个任意常数：2Cr.4222通解xyr的图像是一族充满全平面的同心圆——也叫“积分曲线族”；只要给定条件:如求出过(1,0)点的圆,则立即可定出r=1,于是就得到方程(1)满足所给条件的一个特解:22xy1.5例2质量为m的质点,自某高度下落,设初速度为v0,介质阻力与速度的平方成正比,建立速度所满足的微分方程;建立落程所满足的微分方程;dv

3、2解mmgkv(Newton定律)dt6在给定的初始条件vv0下，t0k2vgv从定解条件m一般就可得v(0)v0此微分方程的一个特解:vv(t).在不记阻力条件下,因2dSmmg(Newton定律)2dt7先后积分两次，得dS12gtC,SgtCtC,112dt2其图象是一族积分曲线族,也叫方程通解,(注意含两个任意常数)。若给了如下定解条件:(也叫初始条件)8S(t)g即可方便地确定出S(t)v(0)v0C2S0,S(0)SCS(0)v.010于是便得到原方程对应初条件的一个特

4、解:12S(t)gtvtS.0029二.有关微分方程的系列概念微分方程(DifferentialEquations)含有未知函数的导数或微分的方程。其中只含一个自变量的方程为常微分方程(ordinarydifferentialequations),自变量多余一个的方程为偏微分方程(partialdifferentialequations)。10微分方程的阶方程所含未知函数的导数(或微分)的最高阶数.请见以下各种微分方程：dy(1)f(x)dx2dxdx(2)abx02dtdt112dydy(3)mhykyF(t)

5、2dtdt(4)yP(x)yQ(x)(5)xdxysinxdy0322(6)xyxy4xy3x2(7)(y)4y3x012uu(8)0xy2uuf(u,v)txx(9)vavg(u,v)txx(n)一般形式(10)F(x,y,y,,y)0ndy(n1)正规形式(11)f(x,y,y,,y)ndx13微分方程的解y(x)若yy(x)在I上有定义,且对所有的xI,能使(n)F(x,y(x),y(x),y(x))0.微分方程的通解n阶微分

6、方程(10)的含有n个独立的任意常数的解的一般表达式：(x,y,C,C,C)0.12n14微分方程的特解n阶微分方程(10)的不含有任何常数的一个确定的解：(x,y)0或yy(x).线性微分方程方程的含“未知函数及其各阶导数”的各项(整体)皆以一次项的形式出现;否则为非线性微分方程。15齐次微分方程对于正规方程(11)的不含“未知函数及其各阶导数”的项的和为零；否则称为非齐次微分方程。微分方程定解条件为确定方程的一个特解而设定或附加的某些特定条件如:初始条件或边值条件。16®关于微分方程要研究的问题主要有：(2)研究

7、解的存在性、唯一性；(3)求微分方程的通解；几何法分析法(4)求满足定解条件的方法代数法微分方程的特解。数值法17§2.微分方程数学建模举例1.指数模型(Malthus模型)十八世纪晚期，人类首次关注人口规划问题.指数模型及Logistic模型在人口、经济、医学、生态环境领域都有很好的应用。19美国科学家发现，在1790—1860年期间美国人口的相对增长率k接近一个常数：k3.5%根据这一点建立的微分方程及定解条件为：1dPkPdtPPt0(1790年)020从而得出人口按指数规律增加：PP0ekt评价l相对增长率等于常数这

8、一假设只在一个较短的时间间隔对问题的模拟较好；l按指数模型，人口将无限增长下去,但这是不可能的。212.Logistic模型(人口增长模型)Malthus模型不符合实际情况的主要原因在于未考虑“密度制约”或