常微分方程定性理论7

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1、二、Liénard方程周期解的存在性称二阶非线性方程为Liénard方程.此方程在非线性振动理论中有明显的物理意义:f(x)表示阻力(阻尼),g(x)表示恢复力(弹力).一般设f(x),g(x)∈C0,x≠0时xg(x)>0,从而g(0)=0,方程存在唯一平衡点Liénard方程等价于方程组但为了研究方便,一般取(Liénard变换),将Liénard方程化为此变换的优点是两个非线性函数f(x),g(x)分别处于两个方程中,且代替f(x)出现了F(x),后者具有更好的光滑性.引理1设方程(1)右侧函数满足①f(x),g(x)∈C0(R);②xg(x)>0,x≠

2、0.则(1)在整个相平面上关于初值问题的解存在唯一.(why?)证记当x>0时,设的反函数为x=x1(z);当x<0时,设的反函数为x=x2(z).作Filippov变换z=G(x),则方程(1)当x>0及x<0时分别等价于以下两个方程1)当x≠0时,(2)的右侧对z连续可微,即连续;()2)当x=0时,(除(0,0)外)方程右侧对y连续可微,即()3)(0,0)是奇点.综上所述,(1)在整个xoy平面上的解存在唯一.定理(A.B.Драгилёв达勒格廖夫)设①x≠0时,xg(x)>0,G(±∞)=+∞;②x≠0,且

3、x

4、足够小时,xF(x)<0;③存在M>

5、0及K1,K2(K1>K2),使X>M时F(x)≥K1,x<-M时F(x)≤K2.则(1)存在一个稳定极限环.证(1)作内境界线Γ1(why??)记(c为小常数).则这表明,对原点附近的闭曲线,一切与它相交的轨线都是从内部到外部.(2)作外境界线Γ2先取y1>0,使y1>K1,-y1

6、知,一切与AB,CD相交之轨线必进入Γ2内部.因为所以一切与弧相交的轨线进入Γ2内部.同理,一切与弧相交的轨线也进入Γ2内部.以下介绍用Filippov变换作外境界线的方法.定理2①设f,g∈C0,xg(x)>0(x≠0),G(±∞)=+∞.作Filippov变换后,F(x1(z))=F1(z),F(x2(z))=F2(z),其中x1(z),x2(z)分别为z=G(x)(x>0)与z=G(x)(x<0)的反函数.②存在δ>0,当00,使且z>z0时则方程(1)存在稳定极限环.条

7、件②和③示意图引理2考虑方程设F∈C0,F(0)=0,且当00,yC≤0),这里任意.证明取则(积分曲线斜率有界表明(6)的积分曲线有界,即不可能有垂直渐近线)因为在等倾线y=F(z)上方的积分曲线有负斜率,在下方的有正斜率,所以过B点的积分线在左边且两头都与y轴相交,并且交A,C点不重合(此结论只需要F∈C0,F(0)=0).下证括号外情形的yC<0.考虑辅助方程令z=u2则(7)变为(8)的特征方程是λ2-aλ+2=0,当时,特征根是复根,O为(8)的焦点(?).所以(8

8、)的从B点出发的轨线必与y轴的正,负半轴交于(7)也有同样的性质.现比较(6),(7)的方向场.时,(6)的过B的积分线必交z=δ于根据比较定理得当时,直接在内比较(6)和(7).引理3对(6),设F∈C0,F(0)=0,且当z>z0时,其中则从任何y轴负(正)半轴上点K(0,yk),yk<0(M(0,yM),yM>0)出发的(6)的积分线必回头与y轴正(负)交于R,yR≥0(N,yN≤0).证明只证括号外.1)若K出发的积分线不与z=z0相交,则它必与y=F(z)相交,还将与y轴正半轴交于R,yR≥0.2)若K出发的积分线与z=z0交于P,则(7)的过P的积

9、分线必与z=z0再次相交于且在曲线y=F(z)的上方(若在下方,则)所以从P出发的(6)的积分线必在的左边,不能再与相交,因此必与z=z0交于Q,且yQ>F(z0).而当y>F(z)时还将与轴正半轴交于R,yR≥0.定理2的证1.作内境界线Γ1.()取使由引理2,过作的积分线交y轴A,C,yA≥0,yC<0;过作的积分线交y轴D,F,yD≤0,yF>0.由条件②知,0≤z≤时,F2(z)-y≥F1(z)-y,所以,在上有因而落在之下,于是yA

10、D都与O重合).轴,轴.F出发的(8)