中考数学压轴题二次函数与圆

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1、实用标准文案第四讲：二次函数与圆综合中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；例题精讲一、二次函数与圆综合【例1】已知：抛物线与轴相交于两点，且．（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（Ⅱ）若，求的

2、取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．解得，．为正整数，∴．∴．解法二：由题意知，当时，．（以下同解法一）解法三：，．又．∴．（以下同解法一．）解法四：令，即，∴．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：．，即．，∴．解得：．∴的取值范围是．解法二：由题意知，当时，．解得：．∴的取值范围是．文档实用标准文案解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．∴∴．∴的取值范围是．（Ⅲ）存在．解

3、法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧，∴．由切割线定理知，，即．∴，∴∴．解法二：连接．圆心所在直线，设直线与轴交于点，圆心为，则．，∴在中，．即．解得．（Ⅳ）设，则．过分别向轴引垂线，垂足分别为．则．所以由平行线分线段成比例定理知，．因此，，即．过分别向轴引垂线，垂足分别为，则．所以．．．．，或．文档实用标准文案当时，点．直线过，解得当时，点．直线过，解得故所求直线的解析式为：，或．【例1】已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。（2）设抛物线与x轴有两个交点

4、A（X1，0）、B（X2，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以，解得或若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，，解得，。∴所求抛物线为：或以下同下。解法二：由题意得,设点M的坐标为∵点M在直线上，∴由勾股定理得，∵∴=，即解方程组，得，∴或当时，设抛物线解析式为，∵抛物线

5、过点，∴，∴当时，设抛物线解析式为∵抛物线过点，∴，∴∴所求抛物线为：或（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴不合题意，舍去。∴抛物线应为：抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得文档实用标准文案（3）∵AB是⊙N的直径，∴r=，N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN=4设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN=4，可得MN=DN，∴，作NG⊥CM于G，在=r即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切【例1】已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点．⑴试用含的代数式表示；⑵设抛物

6、线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙内，它所在的圆恰与相切，求⊙半径的长及抛物线的解析式；⑶设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】⑴解法一：∵一次函数的图象与轴交于点∴点的坐标为(，)∵抛物线经过、两点∴，，∴解法二：∵一次函数的图象与轴交于点∴点的坐标为()∵抛物线经过、两点∴抛物线的对称轴为直线∴，∴⑵由抛物线的对称性可知，∴点在⊙上，且又由()知抛物线的解析式为∴点的坐标为

7、()①当时，如图，设⊙被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙关于轴对称，设它的圆心为∴点与点也关于轴对称∵点在⊙上，且与⊙相切∴点为切点，∴∴文档实用标准文案∴为等腰直角三角形，∴∴点的纵坐标为，∴∴∴抛物线的解析式为②当时，同理可得：抛物线的解析式为综上，⊙半径的长为，抛物线的解析式为或⑶抛物线在轴上方的部分上存在点，使得设点的坐标为()，且①当点在抛物线上时(如图)∵点是⊙的优弧上的一点∴，∴过点作轴于点，∴，∴，∴由解得：(舍去)∴点的坐标为②当点在抛物线上时(如图)，同理可得，由解得：(舍去)∴点的坐标为

8、综上，存在满足条件的点，点的坐标为：或点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆⊙，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性