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时间:2019-08-06
《中考数学压轴题精选 二次函数与圆专练》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例1、抛物线交轴于、两点,交轴于点,已知抛物线的对称轴为,,,⑴求二次函数的解析式;⑵在抛物线对称轴上是否存在一点,使点到、两点距离之差最大?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由;⑶平行于轴的一条直线交抛物线于两点,若以为直径的圆恰好与轴相切,求此圆的半径.解:(1)将代入,得.将,代入,得.∵是对称轴,∴.将(2)代入(1)得,.二次函数得解析式是.(2)与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点.∵点的坐标为,点的坐标为,∴直线的解析式是,又对称轴为,∴点的坐标.(3)设、,所求圆的半径为r,则,.(1)∵对称轴为,∴..(2)由(1)、(2)得:..(3)
2、将代入解析式,得,.(4)整理得:.由于r=±y,当时,,解得,,(舍去),当时,,解得,,(舍去).所以圆的半径是或.例2、如图,在直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,)。⑴求圆心的坐标;⑵抛物线y=ax2+bx+c过O、A两点,且顶点在正比例函数y=-x的图象上,求抛物线的解析式;⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE,交⊙C于D、E两点,试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上;⑷若⑵中的抛物线上存在点P(x0,y0),满足∠APB为钝角,求x0的取值范围。解:(1)∵⊙C经过原点O,∴AB为⊙C的直径。∴C为AB的中点。ABCDE
3、FOHxy过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH=OB=,OH=OA=1。∴圆心C的坐标为(1,)。(2)∵抛物线过O、A两点,∴抛物线的对称轴为x=1。∵抛物线的顶点在直线y=-x上,∴顶点坐标为(1,-)把这三点的坐标代入抛物线抛物线y=ax2+bx+c,得解得∴抛物线的解析式为。(3)∵OA=2,OB=2,∴.即⊙C的半径r=2。∴D(3,),E(-1,)代入检验,知点D、E均在抛物线上(4)∵AB为直径,∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时,满足∠APB为钝角。∴-1<x0<0,或2<x0<3。例3、如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3
4、),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C。⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标;⑵若直线y=kx+t经过C、M两点,且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形;⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索:在x轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。解:(1)由抛物线的顶点是M(1,4),设解析式为又抛物线经过点N(2,3),所以解得a=-1所以所求抛物线的解析式为y=令y=0,得解得:得A(-1,0)B(3,0);令x=0,得y=3,所以C(0,3)
5、.(2)直线y=kx+t经过C、M两点,所以即k=1,t=3直线解析式为y=x+3.令y=0,得x=-3,故D(-3,0)CD=连接AN,过N做x轴的垂线,垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n,则解得m=1,n=1所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1所以DC∥AN.在Rt△ANF中,AN=3,NF=3,所以AN=所以DC=AN。因此四边形CDAN是平行四边形.(3)假设在x轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,设P(1,u)其中u>0,则PA是圆的半径且过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为
6、圆心的圆与直线CD相切。由第(2)小题易得:△MDE为等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,由P(1,u)得PE=u,PM=
7、4-u
8、,PQ=由得方程:,解得,舍去负值u=,符合题意的u=,所以,满足题意的点P存在,其坐标为(1,).例4、已知:如图,抛物线的图象与轴分别交于两点,与轴交于点,经过原点及点,点是劣弧上一动点(点与不重合).(1)求抛物线的顶点的坐标;(2)求的面积;(3)连交于点,延长至,使,试探究当点运动到何处时,直线与相切,并请说明理由.[解](1)抛物线 的坐标为 (说明:用公式求点的坐标亦可).
9、(2)连;过为的直径. 而 (3)当点运动到的中点时,直线与相切 理由:在中,.点是的中点, 在中,为等边三角形 又为直径,当为的中点时,为的切线 (2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线y=2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5.若抛物线y=x2+bx+c过O、A两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)若A点关于直线y=2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆.过原点O作⊙O1的切线OP,P为切点(点P与点C不重合).抛物线上是否存在点Q,使得以P
10、Q为直径的圆与⊙O1相切
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