中考数学压轴题精选 二次函数与圆专练

《中考数学压轴题精选 二次函数与圆专练》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，⑴求二次函数的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；⑶平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．解：（1）将代入，得．将，代入，得．∵是对称轴，∴．将（2）代入（1）得，．二次函数得解析式是．（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．∵点的坐标为，点的坐标为，∴直线的解析式是，又对称轴为，∴点的坐标．（3）设、，所求圆的半径为r，则，.(1)∵对称轴为，∴．.(2)由（1）、（2）得：．.(3)

2、将代入解析式，得，.(4)整理得：．由于r=±y，当时，，解得，，（舍去），当时，，解得，，（舍去）．所以圆的半径是或．例2、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。⑴求圆心的坐标；⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y＝－x的图象上，求抛物线的解析式；⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上；⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。解：（1）∵⊙C经过原点O，∴AB为⊙C的直径。∴C为AB的中点。ABCDE

3、FOHxy过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。∴圆心C的坐标为（1，）。（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。∵抛物线的顶点在直线y＝－x上，∴顶点坐标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为。（3）∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C的半径r＝2。∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。例3、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3

4、)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；⑵若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为又抛物线经过点N（2，3），所以解得a＝－1所以所求抛物线的解析式为y＝令y＝0，得解得：得A（－1，0）B（3，0）；令x＝0，得y＝3，所以C（0，3）

5、.（2）直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k＝1，t＝3直线解析式为y＝x＋3.令y＝0，得x＝－3，故D（－3，0）CD＝连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为y＝mx＋n，则解得m＝1，n＝1所以过A、N两点的直线的解析式为y＝x＋1所以DC∥AN.在Rt△ANF中，AN＝3，NF＝3，所以AN＝所以DC＝AN。因此四边形CDAN是平行四边形.（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，则PA是圆的半径且过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝PA时以P为

6、圆心的圆与直线CD相切。由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE＝u，PM＝

7、4-u

8、，PQ＝由得方程：，解得，舍去负值u＝，符合题意的u＝，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）.例4、已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）．（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）求的面积；（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由．[解]（1）抛物线　　　　　　　　　　　　　　　　　　的坐标为　　（说明：用公式求点的坐标亦可）．

9、（2）连；过为的直径．　　而　　　　　　（3）当点运动到的中点时，直线与相切　　理由：在中，．点是的中点，　　在中，为等边三角形　　又为直径，当为的中点时，为的切线　（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以P

10、Q为直径的圆与⊙O1相切