12.21导数 直线与圆 微积分

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1、1、导数定义的认知与应用；　　2、求导公式与运算法则的运用；　　3、导数的几何意义；　　4、导数在研究函数单调性上的应用；　　5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；　　6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点　　（一）导数　　1、导数的概念　　（1）导数的定义认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。　　（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：　　①求函数的增量；　　②求平均变化率；　　③求极限　　上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。　　（2）导数的几何意义：　

2、　函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。　　2、求导公式与求导运算法则　　（1）基本函数的导数（求导公式）　　公式1　　常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。　　公式2　　幂函数的导数：。　　公式3　　正弦函数的导数：。　　公式4　　余弦函数的导数：　　公式5　　对数函数的导数：　　（Ⅰ）；　　（Ⅱ）　　公式6　　指数函数的导数：　　（Ⅰ）；　　（Ⅱ）。　　（2）可导函数四则运算的求导法则　　设为可导函数，则有　　法则1　　；　　法则2　　；　　法则3　　。　　3、复合函数的导数　　（1）复合函数的求导法则　　设，

3、复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，　　即。　　引申：设，复合成函数，则有　　（2）认知（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：　　；　　（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路　　①分解：分析所给函数的复合

4、关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；　　②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；　　③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。　　二、导数的应用　　1、函数的单调性　　（1）导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。　　（2）利用导数求函数单调性的步骤　　（Ⅰ）确定函数的定义域；　　（Ⅱ）求导数；　　（Ⅲ）令，解出相应的x的范围　　

5、当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。　　（3）强调与认知　　（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应用；　　（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。　　举例：　　（1）是R上的可导函数，也是R上

6、的单调函数，但是当x=0时，。　　（2）在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。　　2、函数的极值　　（1）函数的极值的定义　　设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；　　如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。　　极大值与极小值统称极值　　认知：由函数的极值定义可知：　　（Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；　　（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一

7、点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。（2）函数的极值的判定设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。（3）探求函数极值的步骤：　　（Ⅰ）求导数；　　（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则在这一点取得极大值，若左负右正，则在这一

8、点取得极小值。（III）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。　　已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（C）（D）【要点精讲】1．直线l1与直线l2的的平行与垂直（