微积分课件(导数与微分

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1、第三章导数与微分第一节导数的概念第二节函数和、差、积、商的求导法则第三节反函数的导数、复合函数的求导法则第四节高阶导数第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数第六节函数的微分第七节导数在经济分析中的应用第一节导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义五、可导与连续的关系一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题取极限得第一节导数的概念如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即2.切线问题割线的极限位置——切线位置第一节导数的概念二、导数的定义定义第一节导数的概念其它形式即第一节导数的概念关于

2、导数的说明：第一节导数的概念第一节导数的概念步骤:例1解第一节导数的概念例2解更一般地例如,第一节导数的概念例3解第一节导数的概念例4解第一节导数的概念例5解第一节导数的概念2.右导数:单侧导数1.左导数:第一节导数的概念第一节导数的概念例6解第一节导数的概念三、导数的几何意义切线方程为法线方程为第一节导数的概念切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为例7解根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为所求切线方程为法线方程为第一节导数的概念第一节导数的概念四、函数可导性与连续性的关系另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。例如,0第一节导数的概念第二节函数和、差、积、商的求导法则

3、一、和、差、积、商的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式一、和、差、积、商的求导法则定理第二节函数和、差、积、商的求导法则证(3)证(1)、(2)略.第二节函数和、差、积、商的求导法则第二节函数和、差、积、商的求导法则第二节函数和、差、积、商的求导法则例1解例2解第二节函数和、差、积、商的求导法则例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得第二节函数和、差、积、商的求导法则第三节反函数的导数、复合函数的求导法则一、反函数的导数二、复合函数的求导法则第三节反函数的导数、复合函数的求导法则一、反函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.第三节反函数的导数、复

4、合函数的求导法则证于是有第三节反函数的导数、复合函数的求导法则例7解同理可得例8解特别地第三节反函数的导数、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)第三节反函数的导数、复合函数的求导法则证第三节反函数的导数、复合函数的求导法则第三节反函数的导数、复合函数的求导法则推广例9解第三节反函数的导数、复合函数的求导法则例10解例11解第三节反函数的导数、复合函数的求导法则例12解例13解第三节反函数的导数、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式第三节反函数的导数、复合函数的求导法则第四节高阶导数

5、一、高阶导数的定义二、高阶导数求导举例三、高阶导数的运算法则:第四节高阶导数一、高阶导数的定义引例变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,第四节高阶导数二、高阶导数求法举例例1解第四节高阶导数例2解第四节高阶导数例3解第四节高阶导数例4解同理可得第四节高阶导数莱布尼兹公式三、高阶导数的运算法则:第四节高阶导数例6解第四节高阶导数第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第五节

6、隐函数、参数方程确定的函数的导数第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数例1解解得第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数例2解所求切线方程为第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数例3解第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数一般地第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数例4解等式两边取对数得例5解等式两边取对数得第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函

7、数的求导法则得第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数例6解第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数所求切线方程为第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数例7解例8解第六节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结一、微分的定义实例:正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.第六节函数的微分定义第六节函数的微分定理证(1)必要性第六节函数的微分(2)充分性第六节函数的微分例1解第六节函数