微积分第3章导数与微分

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1、第三章导数与微分11第三章导数与微分§3.1引出导数概念的例题§3.2导数概念§3.3导数的基本公式与运算法则§3.4高阶导数§3.5微分第三章导数与微分2一、变速直线运动的速度问题：已知sf(t)为物体运动的路程函数，求t0时刻的瞬时速度.t0至t0t时间内平均速度:t0时刻的瞬时速度:§3.1引出导数概念的例题第三章导数与微分3割线MN的斜率：切线MT的斜率：二、切线问题问题：求曲线y=f(x)在M(x0y0)处的切线的斜率第三章导数与微分44§3.2导数概念一、导数的定义二、导数的几何意义三、左、右导数四、可导与连续的关系第三章导数与微分5定义设函数y=f(x)在某U(x0)

2、内有定义.存在，则称f在点x0处可导，称该极限值为f在点x0处若的导数，记作.（*）一、导数的定义否则称f在点x0处不可导.注：1.意义：函数关于自变量的瞬时变化率.3.计算：(*)式,2.亦可记作第三章导数与微分6例1讨论下列函数在指定点的导数：1)f(x)x2在点x2处;2)在点x=0处.不存在∴f(x)在点x0处不可导2)解1)第三章导数与微分7定义若函数y=f(x)在I=(a,b)的每一点都可导，则称之为I上的可导函数.任意x∈I，由此定义的I上的函数称作f在I上的导函数.都存在与之对应，即记作注：1.区别与的概念与记号.2.导函数常简称导数.第三章导数与微分8例2求

3、下列函数的导(函)数:1)yx2;2)y=1/x.解1)2)第三章导数与微分9二、导数的几何意义M(x0,y0)点处的切线方程：M(x0,y0)点处的法线方程：切线MT的斜率：——求曲线的切线、法线例3求曲线y=1/x在点(1,1)处的切线方程、法线方程.（答案：切线y=2-x,法线y=x）第三章导数与微分10注：1.f在x0可导f在x0的左,右导数存在且相等.定义存在，则称该极限值为f在点x0处的右导数.若设函数y=f(x)在某U+(x0)内有定义.记作(左)(或U-(x0))(或)(或)例4.讨论函数f(x)=

4、x

5、在x=0处的左、右导数及导数.三、左、右导数2.f在区间(a,b]

6、上可导，对于端点b仅要求左导数存在.（答案：左导数-1,右导数1,不可导）第三章导数与微分11四、可导与连续的关系若f在点x0可导，则必在点x0连续.定理注:连续未必可导，例如与f(x)=

7、x

8、在x=0处连续但不可导.第三章导数与微分12第三章导数与微分12例5.求下列函数的导函数：(2)xn,(n∈N+);(3)sinx,cosx;(4)logax(a>0,a≠1,x>0).nxn-1cosxlogae/x-sinxlnx(x>0)1/x(1)c(常函数);答案：0记结论第三章导数与微分13第三章导数与微分13§3.3导数的基本公式与运算法则一、导数的四则运算二、复合函数的导数三、反函数的

9、导数四、隐函数的导数五、取对数求导法六、参变量函数的导数七、基本求导法则与公式第三章导数与微分14第三章导数与微分14定理若函数在点x0可导,则函数在点x0也可导,且一、导数的四则运算注：推广得：定理若函数在点x0可导,则函数在点x0也可导,且特别地，第三章导数与微分15第三章导数与微分15例1解注：对于多项式f而言,总是比f低一个幂次.例2解第三章导数与微分16第三章导数与微分16定理若函数在点x0可导,则在点x0也可导,且例3求下列函数的导数：解第三章导数与微分17第三章导数与微分17定理设y=f(u),.若在点x0可导，y=f(u)在点可导，则在点x0可导，且二、复合函数的导数注：1.

10、注意区分与或写成：链式法则2.复合函数求导：由外到里,逐步分解,逐步求导.第三章导数与微分18第三章导数与微分18解:(i)可以分解成y=sinu与u=x2的复合.∴由链式法则，有或直接写作：例4求下列函数的导数：第三章导数与微分19第三章导数与微分19定理设y=f(x)在x0可导，f’(x0)≠0.若其反函数x=f-1(y)在y0=f(x0)连续，则x=f-1(y)在y0可导且三、反函数的导数或写成：第三章导数与微分20第三章导数与微分20例5.求下列函数的导数：记结论(1)(2)第三章导数与微分第三章导数与微分四、隐函数的导数若F(x,y)=0确定了隐函数y=f(x),怎样求？F(x,y

11、)=0方法一：y=f(x)显化已有方法求F(x,y)=0方法二：两边同时求导求√例6.已知确定了函数y=f(x)，求（答案：）21第三章导数与微分22例7.求的导数.（提示:两边取ln对数）记结论练习1.求的导数.2.已知求3.求曲线在(1,-2)处的切线与法线方程.第三章导数与微分23第三章导数与微分23(适用于多个函数相乘除、乘方、开方以及幂指函数的情形)例9.设——方程两边取对数，再分别求导.五、取对数