微积分第三章导数与微分

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1、第三章导数与微分§3.1导数的概念§3.2导数基本公式和求导运算法则§3.3链法则与隐函数的导数§3.4高阶导数§3.5微分§3.6边际与弹性§3.1导数的概念引例1、变速直线运动的瞬时速度一、引例（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时引例2——平面曲线的切线斜率在点求曲线L：处切线的斜率.割线MN切线MT割线MN的斜率为：当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT即割线MN的极限位置就是曲线L在点M处的切线MT.当时,切线MT的斜率为：二、导

2、数的定义注意三、导数的几何意义四、左、右导数例3.讨论函数在处的可导性.解所以,函数在处不可导.xyo思考五、可导性与连续性的关系事实上,因在处可导,即定理所以,函数在处连续.问题：连续是否一定可导？结论函数在其可导的点处一定连续函数在其连续的点处不一定可导函数在其不连续的点处一定不可导注意（1）曲线处是尖点在点（2）曲线在点在点（3）曲线间断处有垂直切线处P89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作业先看书再做练习因为处函数无定义，所以该点处函数间断第二类无穷间断点.所以是函数的可去间断

3、点，作业讲评P88.5(2)P89.6.(5).解法1：解法2：原式=解法3：而解法4：解法1：而解法2：P89.6.六、利用导数定义求极限例4：解练一练解答注意分段函数分段点的导数必须用定义求例5：设函数解因为例6：解方法一：例7：解方法二：例10:解:§3.2求导基本公式与求导运算法则一、求导基本公式例1.求函数的导数.解例2.求指数函数的导数.解例3.设求解特别地:例4.设求解正弦函数的导数等于余弦函数.类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数.二、四则运算求导法则证毕.例5.解解:例6常用

4、公式：例7.解练一练解答P117:T5(6),(9);T6(2);T8.作业先看书再做练习三、反函数的求导法则解:例8.解例6.四、导数的基本公式§3.3链法则与隐函数的导数一、复合函数求导法则（链法则）猜想解:例1求下列函数的导数更简明的过程注意解例2更简明的过程解例3更简明的过程例4解或复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.设则或例5求解更简明的过程这里求y对x的导数是从外向里经过每个中间在熟悉了法则之后,运算就不必写出中间变量,变量的导数最后导到x上.因此对复合函数求导搞清楚复合层次

5、后,只要从外层向里层逐层求导即可.例6求解易犯的错误例7例8求解例9解例10解小结复合函数求导首先必须搞清函数是怎样复合的.求导时由外到里逐层求导.注意:一定要到底,不要遗漏,不要重复.例11例12练一练解答P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作业先看书再做练习形如，的函数称为显函数.若与的函数关系由方程所确定,称这类函数为隐函数.二、隐函数求导法又如，解例12解例13解例14小结方程两边对隐函数的求导方法:视为的函数由复合函数求导法则,的方程,解出即可.得到关于注意:结

6、果中既含也含.练一练解答解三、对数求导法两类函数有简便求先给这些函数取对数,然后再求导就可使求导运算简便多了,这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求导法.解例15例16求的导数.解解法1两边取对数,化为两边对x求导解法2将函数化为复合函数例212).两边对求导;3).两边同乘以得4).将结果表示为的显函数.小结对数求导法常用于多因子乘幂求导，或幂指函数求导.对数求导法的步骤:1).函数式两边取自然对数;四、分段函数求导法解:易犯的错误练一练解答解P128T4(4)；T5；T6(1),(2).作业

7、先看书再做练习§3.4高阶导数一、高阶导数记作：或即类似地二阶导数的导数，叫做的三阶导数，记作：或三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：或阶导数的导数，叫做阶导数，记作：或函数有阶导数，也说函数为阶可导.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,例1y=(1+x2)arctanx求y解例2证明所以y3y1二、隐函数的二阶导数例3解解：方程两边同时对x求导上式两边同时再对x求导例4三、几个初等函数的n阶导数解类似地有得到由上面各阶导数可以得到±四、高阶导数的运算公式函数和差的n阶导数(u

8、v)(n)u(n)v(n)函数积的n阶导数这一公式称为莱布尼茨（Leibniz)公式用数学归纳法可以证明：上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果设小结高阶导数的求法(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式如,(4)利用莱布尼兹公式练一练解答例作业先看书再做练习P133:T1(4),(8);T4(2),(3);T7.§3.5微分一、微分的概念问此薄片面积改变了多少?变到长由引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边设薄片边长为x,面积为S,则当x在取得增量时