导数与微积分.doc

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1、导数与微积分导函数　　导函数的概念涉及：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。　　一、基本函数的导函数　　　　C'=0(C为常数)　　(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)　　(sinx)'=cosx　　(cosx)'=-sinx　　(e^x)'=e^x　　(a^x)'=(a^x)*lna　　[log(a,x)]'=1/(x*lna)　　[lnx]'=1/x　　二、和差积商函数的导函数　　　　[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)　　[f(x)-g(x)]'=f

2、'(x)-g'(x)　　[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　　[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)^2]　　三、复合函数的导函数　　设y=u(t)，t=v(x)，则y'(x)=u'(t)v'(x)=u'[v(x)]v'(x)　　例：y=t^2，t=sinx，则y'(x)=2t*cosx=2sinx*cosx=sin2x　　一般定义　　设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量Δ（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在，则称函数在点处可导，并称

3、这个极限为函数在点处的导数，记为，即　　，　　也可记作，或。邻域　　数学分析的定义　　以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)　　设δ是任一正数，则在开区间（a-δ，a+δ）就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的δ邻域，记作U(a,δ)，即U(a,δ)={x

4、a-δ

5、开集，即U∈τ，②点x∈U，③U是A的子集，则称点x是A的一个内点，并称A是点x的一个邻域。若A是开（闭）集，则称为开（闭）邻域。可导　　设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x[0]处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x[0]处可导。　　如果一个函数在x[0]处可导，那么它一定在x[0]处是连续函数　　若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'、

6、或者。　原函数　　已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有　　dF(x)=f(x)dx，　　则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。　　例：sinx是cosx的原函数。　　关于原函数的问题　　函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那么原函数一共有多少个呢？　　我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，　　即：F'(x)=f(x)，　　则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，　　故：若函

7、数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个.　　如果定义在（a,b）上的函数F（x）和f（x）满足条件：对每一x∈（a,b），F′（x）＝f（x）则称F（x）为f（x）的一个原函数。例如，x3是3x2的一个原函数，易知，x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的，例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝v(t),要求它的运动规律，就是求v＝v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。几何意义

8、和力学意义　　设f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数.　　导函数的定义表达式为：　　值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。　　几何意义　　如右图所示，设P0为曲线上的一个定点，P为曲线上的一个动点。当P沿曲线逐渐趋向于点P0时，并且割线PP0的极限位置P0T

9、存在，则称P0T为曲线在P0处的切线。　　若曲线为一函数y=f(x)的图像，那么