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《2018年秋高中数学 圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 椭圆的简单几何性质学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点，难点)[自主预习·探新知]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0
2、)轴长短轴长
3、B1B2
4、＝2b，长轴长
5、A1A2
6、＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距
7、F1F2
8、＝2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e能否用表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示] (1)e2＝＝＝1－，所以e＝.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．[基础自测]1．思考辨析(1)椭圆＋＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长
9、为b.( )(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)D [椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]3．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )【导学号：46342069】A．5,3,0.8 B．10,6,0.8C．5,3,
10、0.6D．10,6,0.6B [椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故B.][合作探究·攻重难]根据椭圆的方程研究其几何性质 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为＋＝1.(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(0，－)，B2(0，)．(2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝
11、，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．[规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．[跟踪训练]1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并
12、研究其性质．[解] (1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.(2)椭圆C2：＋＝1.性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率：e＝.利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率
13、的椭圆的标准方程.【导学号：46342070】[思路探究] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.∴椭圆的方程为＋＝1.∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为
14、＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且
15、OF
16、＝c，
17、A1A2
18、＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝
