2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用练习新人教A版

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1、第2课时椭圆方程及性质的应用A级　基础巩固一、选择题1．平面内一动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，则点M的轨迹为(　　)A．椭圆　　　　　B．圆C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹答案：D2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　)A.B.C．2－D.－1解析：由题意，得

2、PF1

3、＝

4、PF2

5、＝

6、F1F2

7、＝2c，又由椭圆的定义，得

8、PF1

9、＋

10、PF2

11、＝2a，即2c＋2c＝2a，则a＝(＋1)c，得e＝＝

12、－1.答案：D3．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)A．8，2　　　B．5，4　　　C．5，1　　　D．9，1解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.答案：D4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)A.B.C.D.解析：由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，由弦长公式得

13、AB

14、＝×＝.答案：B5．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)A.B.C.D.答案：B二、填空题6．已

15、知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么

16、F1A

17、＋

18、F1B

19、的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由联立得：3x2－4x＝0，可知：A(0，－1)，B，又F1(－1，0)，所以

20、F1A

21、＋

22、F1B

23、＝＋＝.答案：7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：右焦点为(1，0)，故直线为y＝2(x－1)．由消去y，得3x2－5x＝0，所以x＝0或x＝，从

24、而A(0，－2)，B.所以

25、AB

26、＝＝＝.又O到AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝·

27、AB

28、·d＝××＝.答案：8．已知点M(2，1)，C是椭圆＋＝1的右焦点，A是椭圆上的动点，则

29、AM

30、＋

31、AC

32、的最小值是________．解析：如图，设椭圆的左焦点为B(－3，0)，连接MB，AB，点M(2，1)在椭圆内，那么

33、BM

34、＋

35、AM

36、＋

37、AC

38、≥

39、AB

40、＋

41、AC

42、＝2a，所以

43、AM

44、＋

45、AC

46、≥2a－

47、BM

48、.而a＝4，

49、BM

50、＝＝，所以(

51、AM

52、＋

53、AC

54、)min＝8－.答案：8－三、解答题9．有一椭

55、圆形溜冰场，长轴长是100m，短轴长是60m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置．这时矩形的周长是多少？解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴和y轴，以长轴的中心为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴对称．已知椭圆的长轴长2a＝100m，短轴长2b＝60m，则椭圆的方程为＋＝1.设点A的坐标为(x0，y0)，x0>0，y0>0，则＋＝1，即y

56、＝(502－x)．根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S＝4x0y0.因为xy＝x·(502－x)＝[－(x－)2＋]，所以当x＝时，xy取得最大值，此时S也取得最大值．这时x0＝25，y0＝15.矩形ABCD的周长为4(x0＋y0)＝4(25＋15)＝160(m)．因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160m.10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直

57、线l的倾斜角为60°，＝2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果

58、AB

59、＝，求椭圆C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知，y1<0，y2>0.(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝，联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，解得y1＝，y2＝，因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·，得离心率e＝＝.(2)因为

60、AB

61、＝

62、y2－y1

63、，所以·＝.由＝，得b2＝a2，b＝a，代入上式得a＝，所以a＝3，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1.B级　能力提升1．若直线ax＋by＋

64、4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为(　　)A．0B．1C．2D．由a，b的取值来确定解析：因为直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，所以原点到直线ax＋by＋4＝0的距离d＝>2，所以a2＋b2<4，所以点P(a，b)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，因为椭圆的长半轴为3，短半轴为2，所以圆x2＋y2＝4内切于椭圆，所以点P是椭圆内的点，所以过点P(a，b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.答案：C2．