2018年秋高中数学 圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教a版

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1、第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用学习目标：1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)[自主预习·探新知]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相

2、离无解Δ<0思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？[提示]　(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．[基础自测]1．思考辨析(1)若点P(x0，y0)在椭圆＋＝1的内部，则有＋<1.(　　)(2)直线y＝x与椭圆＋＝1(a>b>0)不一定相交．(　　)(3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆＋＝1相切．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

3、2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)A．相离　　　　　　B．相切C．相交D．无法确定C　[联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]3．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________.【导学号：46342078】(－，)　[∵点A在椭圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.][合作探究·攻重难]直线与椭圆的位置关系　对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．[思路探究]　―→―→―→[解]　联立方程组将①代入②得：＋(

4、x＋m)2＝1，整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．[规律方法]　代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元

5、二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．[跟踪训练]1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)A．B．－　　C．±　　D．±C　[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0解得k＝±.](2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等

6、价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以＋≤1，即m≥，又0

7、－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，∴＝＝2，解之得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－，即kAB＝－.又直线A

8、B过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，∴

9、AB

10、＝·＝·＝2.[规律方法]　1.直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间