2019高考数学 复数算法推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入分层演练文

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1、第1讲数系的扩充与复数的引入一、选择题1．已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝(　　)A．5－5i　　　　　　　　　B．7－5iC．5＋5iD．7＋5i解析：选C．(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i，故选C．2．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a等于(　　)A．－1　　　　B．1　　　　C．－2　　　　D．2解析：选D．因为a＋＝a＋＝a＋＝a－2＋i是纯虚数，所以a＝2．故选D．3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A．因为z＝1＋

2、i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A．4．(2018·福建基地综合测试)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解析：选D．＝(x－xi)＝1－yi，所以解得x＝2，y＝1，所以x＋yi＝2＋i，其共轭复数为2－i故选D．5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝

3、1－i

4、＋i，则z的实部为(　　)A．　　　B．－1　　　　　C．1　　　　　D．解析：选A．由z(1

5、－i)＝

6、1－i

7、＋i，得z＝＝＝＋i，故z的实部为，故选A．6．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)A．－7B．7C．－4D．4解析：选A．因为＝1＋＋＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故选A．二、填空题7．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于________．解析：因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－．答案：－8．若复数z＝1＋2i，其中i是虚

8、数单位，则·＝________．解析：因为z＝1＋2i，所以z＝1－2i．所以·＝z·＋1＝5＋1＝6．答案：69．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则

9、z

10、＝________．解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，所以

11、z

12、＝＝＝2．答案：210．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则实数m＝________．解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5．答案：－5三、解答题11．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－

13、2＋4i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)B点对应的复数．解：(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i．因为＝，所以所表示的复数为－3－2i．(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．(3)＝＋＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i．12．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i．设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0

14、)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i．因为z＋是实数，所以b－＝0．又因为b≠0，所以a2＋b2＝5．①　　　　　　　　又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0．②　　　　　　　　由①②得解得或故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i．