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1、第十四单元推理与证明、数系的 扩充与复数的引入知识体系第一节合情推理与演绎推理基础梳理1.合情推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理，我们把它们统称为
2、合情推理.2.演绎推理（1）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.典例分析题型一归纳推理【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是()A.(44,25)B.(45,25)C.(25,45)D.(24,44
3、)分析归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.解质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；……猜想：质点到达(n,n)处，走过长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是（24,44）.学后反思归纳
4、推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.举一反三在数列{an}中，(n∈N*),试猜想这个数列的通项公式.解析题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.解（1）两实数相加后，结果是一个实数;两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即：a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆
5、运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有唯一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.学后反思（1）类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.（2）类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.举一反三2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的三个点确定一个圆；（3）圆的周长
6、和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点为圆心，r为半径的圆的方程为解析(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的四个点确定一个球;(3)球的表面积与体积可求;(4)在空间直角坐标系中，以点为球心，r为半径的球的方程为.题型三演绎推理【例3】(12分)已知函数,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.分析利用演绎推理证明.证明设,…………………………..1′则……….3′当≤时，…………6′∴＞0,即,…………………………….7′∴f(x)在(0,]上是减函数；…………………………………….8′当时
7、，,………………….10′∴＜0,即,…………………………..11′∴f(x)在[,+∞)上是增函数…………………………………….12′学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义，小前提分别是f(x)在（0,]上满足减函数的定义和f(x)在[,+∞)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.举一反三3.用三段论证明函数f(x)=-+2x在(-∞,1]上是增函数.证明设∈(-∞
