2019届高考数学复习复数算法推理与证明课堂达标55数系的扩充和复数的引入文新人教版

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1、课堂达标(五十五)数系的扩充和复数的引入[A基础巩固练]1.(2016·北京卷)复数等于(  )A.iB.1+iC.-iD.1-i[解析] ===i.故选A.[答案] A2.(2018·天津质检)已知i为虚数单位,a∈R,如果复数2i-是实数,则a的值为(  )A.-4B.2C.-2D.4[解析] ∵2i-=2i-=2i--i=i-,a∈R,∴2-=0,∴a=4.[答案] D3.(2018·南昌月考)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z等于(  )A.1+iB.-1-iC.-

2、1+iD.1-i[解析] 方法一:设z=a+bi,a,b为实数,则=a-bi.∵z+=2a=2,∴a=1.又(z-)i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故z=1-i.方法二:∵(z-)i=2,∴z-==-2i.又z+=2,∴(z-)+(z+)=-2i+2,∴2z=-2i+2,∴z=1-i.[答案] D4.(2018·福州二检)定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析] 由题意得,2zi-

3、-i(1+i)

4、=

5、0,则z==--i,∴=-+i,其在复平面内对应的点在第二象限,故选B.[答案] B5.已知复数z=1+,则1+z+z2+…+z2017等于(  )A.1+iB.1-iC.iD.0[解析] ∵z=1+=1+=i,∴1+z+z2+…+z2017====1+i.[答案] A6.(陕西高考)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若

6、z

7、≤1,则y≥x的概率为(  )A.+B.+C.-D.-[解析] 由

8、z

9、≤1可得(x-1)2+y2≤1,表示以(1,0)为圆心,半径为1的圆及其内部,满足y≥x的部分为如图

10、阴影所示,由几何概型概率公式可得所求概率为:P===-[答案] C7.(2017·江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i)其中i是虚数单位,则z的模是______.[解析] 

11、z

12、=

13、(1+i)(1+2i)

14、=

15、1+i

16、

17、1+2i

18、=×=,故答案为.[答案] 8.已知复数z1=cos15°+sin15°i和复数z2=cos45°+sin45°i,则z1·z2=______.[解析] z1·z2=(cos15°+sin15°i)(cos45°+sin45°i)=(cos15°cos45°-sin15°si

19、n45°)+(sin15°cos45°+cos15°sin45°)i=cos60°+sin60°i=+i.[答案] +i9.(2018·河北教学质量检测)已知m∈R,复数-的实部和虚部相等,则m=______.[解析] -=-=-=,由已知得m=1-m,则m=.[答案] 10.复数z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若1+z2是实数,求实数a的值.[解] 1+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i=+[(a2-10)+(2a-5)]i=+(a2+2a-15)i.∵1+z2是实数,∴a2

20、+2a-15=0,解得a=-5或a=3.∵a+5≠0,∴a≠-5,故a=3.[B能力提升练]1.(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围是(  )A.[-1,1]B.C.D.[解析] 由复数相等的充要条件可得化简得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=42-,因为sinθ∈

21、[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈.[答案] C2.(2018·宁夏银川一中一模)已知复数(1+i)(a+bi)=2+4i(a,b∈R),函数f(x)=2sin+b图象的一个对称中心是(  )A.B.C.D.[解析] 因为(1+i)(a+bi)=2+4i,所以a+bi===3+i,所以a=3,b=1.f(x)=2sin+1,令3x+=kπ,k∈Z,所以x=-+,k∈Z,令k=1,得x=,所以f(x)=2sin+1的一个对称中心为.[答案] D3.已知复数z=x+yi,且

22、z-2

23、=,则的最大值

24、为______.[解析] ∵

25、z-2

26、==,∴(x-2)2+y2=3.由图可知max==.[答案] 4.设z1,z2是复数,则下列命题①若

27、z1-z2

28、=0,则1=2②若z1=2,则1=z2③若

29、z1

30、=

31、z2

32、,则z1·1=z2·2④若

33、z1

34、=

35、z2

36、,则z=z真命题是______.[解析] 对于①,

37、z1-z2

38、=0⇒z1=z2⇒1=2,是真命题;对于②,③易判断是真命题;对于④若z1=2,z2=1+i,则

39、z1

40、=

41、z2

42、,但z=4

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