2019届高考数学复习复数算法推理与证明课堂达标55数系的扩充和复数的引入文新人教版

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1、课堂达标(五十五)数系的扩充和复数的引入[A基础巩固练]1．(2016·北京卷)复数等于(　　)A．iB．1＋iC．－iD．1－i[解析]　＝＝＝i.故选A.[答案]　A2．(2018·天津质检)已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－是实数，则a的值为(　　)A．－4B．2C．－2D．4[解析]　∵2i－＝2i－＝2i－－i＝i－，a∈R，∴2－＝0，∴a＝4.[答案]　D3．(2018·南昌月考)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于(　　)A．1＋iB．－1－iC．－

2、1＋iD．1－i[解析]　方法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.方法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.[答案]　D4．(2018·福州二检)定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]　由题意得，2zi－

3、－i(1＋i)

4、＝

5、0，则z＝＝－－i，∴＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.[答案]　B5．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2017等于(　　)A．1＋iB．1－iC．iD．0[解析]　∵z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2017＝＝＝＝1＋i.[答案]　A6．(陕西高考)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若

6、z

7、≤1，则y≥x的概率为(　　)A.＋B.＋C.－D.－[解析]　由

8、z

9、≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图

10、阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P＝＝＝－[答案]　C7．(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)其中i是虚数单位，则z的模是______．[解析]　

11、z

12、＝

13、(1＋i)(1＋2i)

14、＝

15、1＋i

16、

17、1＋2i

18、＝×＝，故答案为.[答案]　8．已知复数z1＝cos15°＋sin15°i和复数z2＝cos45°＋sin45°i，则z1·z2＝______.[解析]　z1·z2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°si

19、n45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝＋i.[答案]　＋i9．(2018·河北教学质量检测)已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝______.[解析]　－＝－＝－＝，由已知得m＝1－m，则m＝.[答案]　10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．[解]　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2

20、＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.[B能力提升练]1．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)A．[－1,1]B.C.D.[解析]　由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈

21、[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.[答案]　C2．(2018·宁夏银川一中一模)已知复数(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i(a，b∈R)，函数f(x)＝2sin＋b图象的一个对称中心是(　　)A.B.C.D.[解析]　因为(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i，所以a＋bi＝＝＝3＋i，所以a＝3，b＝1.f(x)＝2sin＋1，令3x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－＋，k∈Z，令k＝1，得x＝，所以f(x)＝2sin＋1的一个对称中心为.[答案]　D3．已知复数z＝x＋yi，且

22、z－2

23、＝，则的最大值

24、为______．[解析]　∵

25、z－2

26、＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.[答案]　4．设z1，z2是复数，则下列命题①若

27、z1－z2

28、＝0，则1＝2②若z1＝2，则1＝z2③若

29、z1

30、＝

31、z2

32、，则z1·1＝z2·2④若

33、z1

34、＝

35、z2

36、，则z＝z真命题是______．[解析]　对于①，

37、z1－z2

38、＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，是真命题；对于②，③易判断是真命题；对于④若z1＝2，z2＝1＋i，则

39、z1

40、＝

41、z2

42、，但z＝4