例谈中学数学中的向量构造法 新课标 人教版

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1、例谈中学数学中的向量构造法http://www.DearEDU.com河南汤阴一中杨焕庆王国伟向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。构造向量除有坚实的基础知识外，

2、还特别要知道实现构造的理论基础：（1）（2）。一.证明不等式通过构造向量，利用向量的重要不等式：，或，以达证明不等式之目的。例1.设a、b、c、d均为正数，求证证明：构造向量，，由得例2.若，求证：证明：构造向量，，则于是由有得将例1推广到更一般的形式，即有例3.若和都是正数，则证明：构造向量，于是，由得从上述证明，发现条件和是正数是多余的。而且利用还可以推出例4.设任意实数x，y满足，，求证：证明：构造向量，由向量数量积性质得所以即例5.设a，b为不等的正数，求证证明：构造向量，，则因为a，b为不相等的正数，所以，即

3、，所以例6.已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：。证明：构造向量，则，而，由，得所以例7.求证：证明：设（1）当至少有一个为零时，所证不等式成立；（2）当都不是零向量时，设其夹角是，则有，因为，即点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！二.研究等量关系例8.已知：。证明：对于任何正整数都有分析：借助向量不等式等号成立的条件，构造向量，可化难为易。证明：构造向量，则，所以，故同向，则即，所以代入题设得：，于是所以例9.已知，求锐角。分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出的

4、值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。解：由已知得，构造向量，则，由，得，即，则三.求值域或最值例10.求函数的最大值。分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质解答，将会使求解非常容易。解：原函数可变为，设，因为，所以构造向量由得，从而，当且仅当时，例11.求函数的值域。分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。解：设，，不共线，即例12.已知x>0,y>0，且x+y=1，求的最大值利用向量数量积的一个重要性质，变形为可以解决不等式中一

5、类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力总之，构造向量法，为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，体现了知识的交汇和联系，是高层次思维的反映,常用构造法解题,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效.