例谈中学数学思想 人教版

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1、例谈中学数学思想内容提要：用数学思想指导教学，进行一题多解的训练，对习题灵活变通，引伸和推广，有助于培养思维的发散性、灵活性、敏捷性、深刻性、抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。关键词：数学思想等价转化思想函数与方程思想分类讨论思想数形结合思想一、数学思想数学思想，是人

2、脑对空间形式和数量关系的能动反映，它是对数学事实及内在关系最本质的认识。首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。中学数学中出现的数学观点(例如方程观点、函数观点、向量观点、几何变换观点等)和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。二、数学思想中的基本数学思想基本数学思想包括：数形结合思想，分类讨论思想，方程与函数思想，等价转化思想等。(一)数形结合思想

3、数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以

4、及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。例1若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。y=1-m【解】原方程变形为即：设曲线y＝(x－2),x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

5、

6、的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：用心爱心专心118号编辑-5-①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如

7、a

8、的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等

9、，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。例2、设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。①证明：0，使得＝lg（S

10、－c）成立？并证明结论。(95年全国理)【分析】要证的不等式和讨论