函数零点易错题、三角函数重难点(教师版)

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1、实用标准文案函数零点易错题三角函数重难点教师版  函数的零点是函数图象的一个重要的特征,同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容,在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用,因此要重视对函数零点的学习.下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析,希望对大家有所帮助.1.因"望文生义"而致误    例1.函数的零点是    (  ) A.  B.  C.,  D.1,2错解:C错解剖析:错误的原因是没有理解零点的概念,"望文生义",认为零点就是一个点.而函数的零点是一个实数,即使成立的实数,也是函数的图象与轴交点的横坐标.正解:由得,=1和2,所以选D.点拨:求函数的零点有两个方法,⑴代

2、数法:求方程的实数根,⑵几何法:由公式不能直接求得,可以将它与函数的图象联系起来,函数的图象与轴交点的横坐标.即使所求.2.因函数的图象不连续而致误例2.函数的零点个数为  (  ) A.0  B.1  C.2  D.3错解:因为,,所以,函数有一个零点,选B.错解剖析:分析函数的有关问题首先考虑定义域,其次考虑函数的图象是不是连续的,这里的函数图像是不连续的,所以不能用零点判定定理.正解:函数的定义域为,当时,,当时,所以函数没有零点.也可由得方程无实数解.  点拨:对函数零点个数的判定,可以利用零点存在性定理来判定,涉及多个零点的往往借助于函数的单调性.若函数在区间文档实用标准文案上的

3、图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即,则在区间内,函数至少有一个零点,即相应的方程在区间至少有一个实数解.然而对于函数的,若满足,则在区间内不一定有零点;反之,在区间内有零点也不一定有.前者是因为图象不连续,后者是因为方程有重根.如下图所示:    1.因函数值同号而致误例3.判定函数在区间内是否有零点.错解:因为,所以,函数在区间内没有零点.错解剖析:上述做法错误地用了函数零点判定定理,因为函数在区间上的函数图像是连续曲线,且,也可能在内有零点.如函数在区间上有,但在内有零点.正解:当时,,函数在上的图象与轴没有交点,即函数在区间内没有零点.   法二:由得,故函数在区间内

4、没有零点.点拨:对有些函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号.如函数有零点1,(如上图)但函数值没变号.对函数零点的判定一定要抓住两点:①函数在区间上的图象是连续曲线,②在区间端点的函数值符号相反,即.文档实用标准文案1.因忽略区间端点而致误例4.已知二次函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.错解:由函数的零点的性质得,即,解得.所以实数的取值范围为.错解剖析:错解的原因是只注意到函数零点的应用,而忽略问题的其它形式:①在上有二重根;②终点的函数值可能为0.正解:⑴当方程在上有两个相等实根时,       且,此时无解.    ⑵当方程有两个不相等的实根时

5、,①有且只有一根在上时,有,即,解得②当时,=0,,解得,合题意.③当时,,方程可化为,解得合题意.综上所述,实数的取值范围为.点拨:在求参数时,要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合,进行分类讨论使复杂的问题简单化. 本文已在《学苑新报》上发表方程的根与函数的零点1.函数的零点为()A、B、C、D、不存在2.函数的零点个数为()文档实用标准文案A、0B、1C、2D、33.函数的零点一定位于区间().A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)1.C2.D3.易知函数在定义域内是增函数.∵,,.∴,即函数的零点在区间(2,3).所以选B.4.求证方程在内必有一个实数根

6、.4.证明:设函数.由函数的单调性定义,可以证出函数在是减函数.而,,即,说明函数在区间内有零点,且只有一个.所以方程在内必有一个实数根.点评:等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想,它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题,每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化.此题可变式为研究方程的实根个数.5.(1)若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是.(2)已知函数,若在上存在,使,则实数m的取值范围是.5.解:(1)设函数,由题意可知,函数在内恰有一个零点.∴,解得.(2)∵在上存在,使,则,∴,解得.所以,实数m的取值范围是.6.已知关于x的方程x2+2mx+2m+3=0的两个不等实根都

7、在区间(0,2)内,求实数m的取值范围.6.解:令有图像特征可知方程f(x)=0的两根都在(0,2)内需满足的条件是文档实用标准文案解得。7.已知函数f(x)=

8、x2-2x-3

9、-a分别满足下列条件,求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.7.因为函数f(x)=

10、x2-2x-3

11、-a的零点个数不易讨论,所以可转化为方程

12、x2-2x-3

13、-a=0根的个数来讨论,即转化为方程

14、x

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