2010年南京大学数学分析考研试题及解答

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1、南京大学2010年数学分析考研试题设q=i,%严加石说明｛%｝的收敛性，并求极限.二.确定Q,的值,1丫之+Sg+0nM円，（一。0）・三.四.A-dxdy,其中E={(x,y,z):

2、x

3、+

4、y

5、+

6、2=800五.设正项级数£色收敛，证明级数£咖几+「・仏」收敛.w=l//=!六.设/（无）在［0,龙］上连续，且在x=O处可导，证明lim£/(x)n->ooJ)丄+cosx+cos2兀+…+cosnx(2jjrd"卫(0)・七.映射f:RJR二阶连续可微，且Hesse（f）＞In,人为n阶单位方阵,证明:V/*:R”T川可逆，且逆映射光滑，其中Vf5j_df_a，，

7、甌为f的梯度.八.设函数/（兀）在［d,列上连续，在一个可数集Z外可导，且导数非负，证明九.设/（x）在问上二阶可导,y（6z）=/（/?）=o,证明:存在兵仏b）,使得^f(x)dx=^-^(a-b)南京大学2010年数学分析考研试题解答一.解方法一显然>1,an+l>41(宛=1,2,3,…),色+1_色

8、=J1+%-J1+%1J1+Q“+Jl+色—1于是匕｝是压缩数列，从而匕｝收敛，设liman=afa>迈,"TOO贝ij冇a=21A1+亦a-a-1=0,a=.2方法二显然a2=yjl<2,a｝

9、V2,a”Wd曲，(“=1,2,3,

10、…),即知｛%｝单调递增且有界,于是仏｝收敛，设lim^=a,a>,在4+1=J1+%屮令"Too取极限，彳导ci=Jl+a,q-1=0,所以2二・解由1+—kn)十屮+。Ann丿a=lim/?1+丄n丿-eb=limn2”—>8(I丫1+-+CO-HOX2、XlimXT+CO1+1ln(l+x)-lnx-e-2limXT+QOi+-X)L21、X+1+—

11、『sin2xclx11=—e.247dxsinxCOSX)fclxsinx=2j^x（lnsinx）dx7t江=2（xInsin兀）”-2Insinxdx=-2finsinxdx,我们知道Flnsinx〃x=-fln2,zr2所以卩一dx=兀址12・ksin*/、Xa/y8+一+一dz7丿=0,（厂工0）,四.解显然磴取g〉0充分小，二：兀2+y2+”=/利用高斯公式，则有0各dydz+Wdzdx+二dxdyyzdydz+七dzdx+—dxdyrr丄JJxdydz+ydzclx+zdxdy8乙3JJ3dxdydz8F+Y+z匕214.,=—^3~7T£'=47T.云

12、3五.证明利用几何平均算数平均不等式,•寸叫S+1）%…（2/?-1）°2门《1血”+（〃+1）%+]+…+（2/?_1）如_】nnn2<4%+2勺+・・・+(2hT)%_i2/?(2/?-1)2n(2n_1)Q]+2a=+•••+(2n_1)Q%_i2/?(2/?-1)令bn=Q[+2a2+…+nan,g00A我们知道，若£色收敛，则有收敛,心n=I兀（斤+1）由于正项级数收敛，所以E（匕收敛,n=ln=l（2〃一1）（2斤）故工…°2“-1?l=l收敛.六.证明我们知道2sin-f丄+cosx+cos2x+…+cos处、2(2)•X<•3•兀、■<“■（1)sin

13、—+sin—x--sin—+•••+sinn+—x-sinn-—2<22丿<2丿2丿X,•f1)=sinn+—I2丿1sin于是一+cosx+cos2x+…+cosnx=——21n+—xI2丿2sin—2由此可得我们知道知1)n+—x—dx)2sin-2sinvr^sin(2n+l)wpsin(2n+l)w)2sinw止)sinw(1)—+cosx+cos2x+—卜cosnxdxU丿(1)sin+—x—~dx,2sin—2X-dx22sin—2VTmi（0）sinh+丄仏,.1sinn+——笋（O）叮（/（兀）-/（。））」22sinf设F(x)=/(x>-/(O)2

14、sin—显然F（x）在（0,刃上连续,limF(x)=lim3=广(0),x->0+'7Wx.XV7sin—2从而知F(兀)在［0,龙］上连续，利用黎曼引理，得JTlimSn/(O)=limfFWsinxclx=0,故有limff(x)“TOO—+cosx+cos2x+…+cosnx(2七•证明设F=W，FGC*(r),则有JF=Hesse(、f),由丿F'In,知xTJFx>xTx,VxeRn,丿F是止定矩阵，

15、叶0,由反函数组的存在定理，F•RJR"也是可逆映射，且其逆映射也是连续可微的,结论得证.八、(1)设/(兀)在[G,b]上三阶可导，则存