南京大学2002年和2003年数学分析考研试题及解答_

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1、南京大学2002年数学分析考研试题.一求下列极限。（1）；（2）设，，（i）在上的最大值；（ii）设，，，，求。二设，试证明在内有无穷多个零点。三设在的某个邻域内连续，且，，（1）求；（2）求；（3）证明在点处取得最小值。四设在的某个邻域内具有二阶连续导数，且，试证明：（1）；（2）级数绝对收敛。五计算下列积分（1）求；（2），其中是圆柱面，三个坐标平面及旋转抛物面所围立体的第一象限部分的外侧曲面。六设，在内可导，不恒等于常数，且，试证明：在内至少存在一点，使。七在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面1

2、1,第一象限的点,问取何值时，所做的功最大，并求的最大值。八（1）证明：，；（2）求。南京大学2002年数学分析考研试题解答一（1）解.（2）解（i）,当时，，在上单增，当时，，在上单减，所以在处达到最大值，；（ii）当时，，，，，11，，，单调递增有上界，设，则有，，，；当时，，；当时，，，，二证明因为，，，显然在上连续，由连续函数的介值定理知，存在使得，即得在上有无穷多个零点。三解（1），因为，所以，，，于是；（3）由知，存在，当时，，，即知中在处取得极小值。四、证明（1）由，知，11由知.（2），，已知

3、收敛，其中，于是收敛，结论得证。五（1）解,所以.（2）解曲面，事物交线为，，，，其中是区域的边界时，利用高斯公式，11.当是的边界时，利用高斯公式.六证明证法一用反证法，假若结论不成立，则对任意，都有，在上单调递减，由于不恒等于常数，所以不恒等于零，存在一点，使得，，存在，使得，，因为，，所以，这与矛盾，从而假设不成立，原结论得证。证法2由于在上连续，在上取到最大值和最小值，且，由于，所以的最大值或最小值必在内达到。若在处达到最大值，存在使得，11从而有；若在处达到最小值，存在使得，从而有；结论得证。七解设

4、，则有，所以是有势场，，由于时，，，等号成立当且仅当，所以时，达到最大值，且的最大值为。八证明（1）由于当时，有，对任意，，取，，所以有；（2）取，有，收敛，对任意，在上一致收敛于，故由函数列积分的黎曼控制收敛定理，11。南京大学2003年数学分析考研试题一求下列极限（1）设，求；（2）设，，，求。（3）。二过点作抛物线的切线，求（1）切线方程；（2）由抛物线、切线及轴所围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕轴和轴旋转一周的体积。三对任一，求在中的最大值，并证明该最大值对任一，均小于。四设在上有连续导数，

5、且，，（为常数），试证：在内仅有一个零点。五计算下列积分（1）设，，求和；（2），其中为上半球面，的外侧。六设，在上黎曼可积，（1）求，并讨论在上的一致收敛性；（2）求，（要说明理由）11七设的收敛半径为，令，试证明：在上一致收敛于，其中为任一有穷闭区间。南京大学2003年数学分析考研试题解答一（1）解设，则有，由此知，；（2）解由归纳法，易知，，，由此知，单调递增有界，设，，则有，，故。（3），，故。3解（1），设切点为，，11设切点的切线方程为。将，代入，，，，，所求切线方程为，即。（2）解。（3），。三

6、解，当时，，当时，，于是在处达到最大值，。容易证明在上单调递减，，，11故有.四证明对任意，,当充分大时，有，又，由连续函数的介值定理，存在，，由，在上严格单调递增，所以在内仅有一个零点。五（1）解，显然，，，.（2）解，，11.六、解，由于极限函数在上不连续，所以在上不一致收敛；但对任何在上一致收敛于0；且，根据控制收敛定理，对于在上黎曼可积，有。七、证明由条件知在上连续，在任意有限区间上是一致收敛的，对任意有限区间，在上一致收敛于，在上一致有界，，再由在上一致连续，于是有在上一致收敛于.11