南京大学2001年数学分析考研试题及解答

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1、南京大学2001年数学分析考研试题.一、求下列极限1）设求；2）；3）设试求4）设在内可导，且令，试证明存在有限二、设令1）讨论2）求三、设试证明对一切，成立四、求下列积分1）计算反常积分；2）计算曲面积分，其中为锥面那部分的外侧。五、求在处的幂级数展开式，并计算之值六、设，，.71)证明级数绝对收敛；2)求级数之和.一、设，其中满足不等式.1）讨论含参变量积分在区域上的一致收敛性；2）求在区域上的最小值.南京大学2001年数学分析考研试题的解答一、1、解易知，是压缩迭代序列，所以存在，设，则有，所以。2、解令，则有；由，得。3、解在上连续，对任何，因为，由此，即得，.74、解由题

2、设条件，得，由此即可知是一个基本列，所以存在且有限。二、由于在上有二阶连续导数，所以，在上连续；有；所以在处连续.显然在处连续.故在上连续.在处,；（2）当时,,.由于和连续,故当时,存在且连续.7而且,在处连续,进而在上连续.三、假设在上可导，且，证明，.证明令,,因，所以,令，则,即得,所以，则,,于是，.四、（1）计算，.解因为，所以，由于及收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得在上一致收敛，又在上连续，7所以积分可交换次序，即；故，任何实数.特别地。（2）解（由于不是封闭曲面，需要补充一部分曲面，构成一个封闭曲面.）区域：，边界，方向朝区域外.，方向朝上；显然，利用高斯公式，得，

3、再由，得出.五、解，因为，所以，显然在上一致收敛，7。六、证明令，则有，，在上是严格递减的；当时，；当时，；若，则有显然，，；将代入，得，由，得单调递减，单调递增，设，，在，中，令取极限，得，，从而有，故.，，；，其中位于与之间，，，于是存在正整数，当时，成立，其中常数，由此而来，可知级数收敛，故级数绝对收敛；若，则有，此时结论显然可得；若，则有，然后就与上面的情况类似了。7七、解（1）等价于，于是有，设，则有，显然是收敛的，于是在区域上是一致收敛的；（2），在区域上的最小值为。7