南京大学2008年和2009年数学分析考研试题及解答

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1、南京大学2008年数学分析考研试题一设为上的周期函数，且，证明恒为0。二设定义在上的二元函数关于，的偏导数均恒为零，证明为常值函数。三设为上的一致连续函数，且，，问：是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。四是否存在区间上的数列，使得该数列的极限点（即聚点）集为，把极限点集换成，结论如何？请证明你的所有结论。五设为上的非负连续函数，且，问是否在上有界?若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。六计算由函数和的图像在平面上所围成区域的面积。七计算积分。八计算积分，其中为如下区域：，为正常

2、数。九设，，证明：级数是收敛的。十方程在附近决定了隐函数，求的值。十一求函数在约束条件，下的极值，并判断极值的类型。十二设，且，证明：。十三设为上的连续函数，且对任意正整数，均有，证明：为常值函数。9南京大学2008年数学分析考研试题解答一证明设的周期为，，则有，由条件知，，结论得证。二证明因为，，，在上连续，对任意，有，所以，即为常值函数。三解未必为连续函数。反例：，在上连续，又，所以在上一致连续，，显然在上不连续。四解（1）存在。取中的有理数形成的点集，则有。（2）不存在。假若存在，使得，由于是闭集，而为开集，矛盾，所以这样的

3、点列不存在。五未必有在上有界，未必有。六解显然两曲线的交点横坐标为，，9。七解显然这个二重广义积分是收敛的。由，。八解十解，，。十一解，，9，，，。十二证明，，，于是，，，，，故有。十三证明作函数，是周期为的偶函数，当时，，则在上连续，在可积。，，，，，9在中收敛于，，，，由在上连续，知，即得，在上为常值函数。南京大学2009年数学分析考研试题1开区间内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。2若级数收敛，则是否有收敛，是请证明；否请举反例。3设，求。4求。5若函数在上可导，则是否一定有界，是请证明；否请举反例。6函数

4、连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。7函数在上有二阶导数，，，，求证：，。8函数是一个函数，，计算。9计算，其中是八分之一球面9，方向朝外。10、已知是上有界变差函数，求证：，其中是的傅里叶系数。南京大学2009年数学分析考研试题解答1解尽管中的有理数的个数是可数的，但中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：（1）由于中无最小的有理数，也无最大的有理数；（2）用反证法，假若中的有理数按由小到大的顺序排成了一列，中应没有有理数了，而中仍有有理数，矛盾。2解由级数收敛，未必退出收敛。反例：设，显然收敛

5、，但发散。3解设则有，，由夹逼定理，知。4解9。5解由在上可导，即在上存在，但未必在上有界。反例：，，在上无界。6证明不妨设是的唯一的极小值点，则存在，当时，有，我们要断言，对所有，。用反证法，假若存在，使得，不妨设，由连续函数的介值性，存在，使得，在的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以是最小值，结论得证。7证明由，知在上是上凸函数，对任意，，有，对，有。98解，。9解，。10证明是上有界变差函数，9所以在上可积，，所以，对，同理有结论得证。9