数理金融学与金融工程基础（第二版）第五章课件

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1、第五章课件：期权与资产定价公式期权等资产价格的布朗-伊藤过程为了给读者提供更广阔更实际的背景和来源，我们现在介绍金融市场上期权价格动态变化和Black-Scholes期权定价理论中的布朗-伊藤过程。随机过程是描述一个或多个变量在不确定环境屮的变化过程。因为期权价格变化具有不确定性，所以，随机过程特别适合用于风险期权价格未来变化的分析。在金融学中，我们特别关心两种类型的随机过程。一类是离散时间/离散变量过程，即允许离散变量在离散吋I'可问隔变化的一类过程。二叉树模型和随机游走模型就是这类随机过程。另一类是连续时间/连续变量随机过程，这些过程

2、允许变量连续地变化。期权价格、资产收益在这里都是依时间连续地变化的。这样的模型统称为连续时间模型，它们导致了随机微积分的应用（罗伯特・C•默顿的《连续时间金融》一书就是讲的连续时间模型）。布朗-伊藤过程属于连续时间模型。1-资产价格的布朗-伊藤过程（Wiener-Brownian）证券价格收益是随机变量。这一类随机过程的根本特征是，它的转移依赖于这个变量前一瞬间的状态。股票价格$仅仅与有关，由此得出了漂移、游走和二叉树的解说和描述。用模型术语来说就是，这个过程的重要特征为：价格变量的随机变化或信息在时间上是相互独立同分布的-尽管随机变量的

3、历史转移变化对预测未來转移变化不起作用，但是过去转移变化的统计特征对预测未来转移变化的概率分布是很有用的。例如，在概率意义下，过去转移变化的均值和波动率在预测未来转移变化屮是有用的。随机变量的观测是随时间发生的，所以它的各个观测值都有序。这类随机过程现在被统称为布朗-伊藤过程，即Wiener过程或称为Brownian运动。2.期权价格的基本布朗-伊藤过程布朗•伊藤过程描述的是物理和化学屮变量受到众多小粒子撞击的随机过程，后来人们发现它也非常合适地描述了期权价格过程。通常假设期权价格随时间随机变化，这是因为获1在数学中，把这样的随机过程被称

4、为Markov（马尔科夫，俄罗斯数学家）过程。金融主要理论之一一有效市场假说提出了这样的观点：资产的价格反映了该资产的全部历史信息；对有关资产的新信息，市场会立即作出反应，这个反应由价格变化体现。如果市场的确对新信息即刻作出反应，且新信息带來的价格变化不依赖以前的信息，则期权价格的变化服从Markov过程。得一条新的信息后众多随机因素的累积效应导致期权价格随机变化。设S是任一个随机变量，/表示时间。在小的时间间隔d内，随机变量S变化了AS。变量的独立性是布朗-伊藤过程的一个重要特征，这将导致不同时间段的AS是相互独立的,且是正态分布，即A

5、S服从N（0,佑）。由于每个AS的方差的△/,则在一个较长时期内其方差为XA/o因而，如果随机变量S服从基本布朗■伊藤过程，那么，在整个吋间期T（T=^Ar）内，旳）的变化的均值为0,方差为T,标准差为丽。它在小时间间隔△（内S的变化AS满足方程△S=（5.4.1）其中£是随机项，服从标准正态分布，其均值为0,方差为在随机收敛意义下，它可以写成dS=£y[dt（5.4.2）因为£是标准正态分布，AS也服从正态分布，它的均值为零，方差为标准差为妬。rfl（5.4.1）式和（5.4.2）式所描述的期权价格随机过程就被称为基本布朗•伊藤过程。在

6、数学上它们被称为随机微分。这样，我们现在就有了一个随机变量S,它随机变化了AS。因为这个变化依赖于另一个随机变量£妬（可以是随机得到的信息），因此它的期望值是零，方差为△『，标准差为VA/o图5.4.1解释了基本布朗•伊藤过程。随着时间间隔M的增加，水平趋势的波动程度也增加，然而信息的波动程度为常数。图5.4.1基本布朗■伊藤运动但是，我们现在还不能应用这个基本布朗•伊藤过程去描述期权价格这一随机过程，因为将基本布朗•伊藤过程应用到期权价格上，在以下三个方面是无效的：(1)不同资产有不同的波动程度。上面的描述，资产的波动都是1。(2)风险

7、资产平均看有正的期望收益，在上面的过程屮AS的均值被假设为0,这样从平均上看，未来价格等于现在价格。(3)布朗-伊藤过程假设价格是绝对变化AS,不依赖于S的大小，然而事实上我们不期望这种情况。平均来看，高价格资产的绝对价格变化比低价格资产的绝对变化要大。相对期权价格AS/S是成比例变化的，它不依赖于S。这个比例或百分比与这个期权价格同样无关。因而这指出了在期权价格变化度量上的一个重要事实：关系AS/5比AS更合适。2.期权价格的一般布朗-伊藤过程针对基本布朗-伊藤过程的三方面无效情况，为了能够用布朗-伊藤过程准确完整地描述期权价格随机过程

8、，我们还需要如下地思考问题。首先，我们都知道，不同的证券英价格的波动程度不同。就是说，反映两个证券波动性的£是不同的。因此，就白然地想到如下的问题：1.不同资产有不同程度的随机性或波动性，这种