伴随矩阵的性质及其应用 数学毕业论文

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1、伴随矩阵的性质及其应用摘要在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种意义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样,不仅在理论很有研究价值而且在实践上也有广泛的应用.本文主要是针对伴随矩阵的多种性质以及特殊的矩阵(比如上三角矩阵、对称矩阵等)的伴随矩阵所具有的性质进行了系统的研究，同时在计算伴随矩阵中应用伴随矩阵的特殊性质去简化计算，使某些矩阵的伴随矩阵的求法简单可行，避免了大量复杂的计算.关键词伴随矩阵特殊矩阵上三角矩阵1序言伴随矩阵是一种特殊的矩阵，在矩阵的研究中占有很重要的地位.前人针对伴随矩阵的性质及其应用等方面做了

2、大量的工作.而本文在借鉴前人的基础上，首先研究的是伴随矩阵的性质，其次对某些特殊矩阵的伴随矩阵进行研究，最后利用特殊矩阵的伴随矩阵的性质对某些题目应用简单方法进行计算.2伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵的定义设=()是一个级矩阵，叫做的伴随矩阵，其中是的代数余子式，很显然的元素是由的一切n-1级代数余子式组成.192.2伴随矩阵的基本性质定理2.1证明（略）.定理2.2设为n（n＞1）阶方阵，则有=证明（1）当时，≠0，由=知，，即，所以.（2）当时，0，所以0，知的列向量都是方程的解，由于，齐次线性方程组的解向量组的秩为n-（n-1）=1，

3、知的列向量组的秩为1，即列秩为1，故.（3）当时，的每一个元素都是零，因为没有不为0的n-1阶子式，故.定理证毕.对定理2.2有如下两个推论：推论1和同时可逆或不可逆.①若，；②若时，=0.推论2定理2.3设为阶方阵，即为，则有（1）（2）对.特别，有19证明（1）可直接由定义计算出来.(2)当k=1是，结论成立，当k=2时，，由，所以k=2时成立.假设k-1结论成立，则对于k当k为奇数时k为偶数时所以对任意的k，结论成立.对定理2.3有如下推论：推论若为n×n（n3）非可逆矩阵，则的m（m2）重伴随矩阵证明由于为n（n3）且的矩阵，由定

4、理2.2，则，所以中任意阶子式全为0，故有，从而定理2.4证明设，，则，19，其中设，则对定理2.4有如下两个推论：推论1推论2定理2.5证明由；，而，故结论成立.19定理2.6（）定理2.7定理2.8定理2.9定理2.10证明设则中第i行第j列表示为19根据行列式的性质：行列式与它的转置矩阵行列式相等，显然有，对一切；都成立，所以.3某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质定理3.1单位阵的伴随矩阵仍为单位阵，即；零矩阵伴随矩阵仍为零矩阵.定理3.2若是上（下）三角形矩阵，则也是上（下）三角形矩阵，并且之对角线上元素为之对角线除去对应位置上一元素后

5、余下的n-1个元素之积.证明设，当k＞1时，因为其中是所对应的代数余子式，于是，当时，=而故.这就是说19又=就证明了上三角的情形.同理可证明下三角的情形.对定理3.2有如下推论：推论对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵，且定理3.3对称矩阵的伴随矩阵仍为对称矩阵，对合矩阵（）的伴随矩阵仍为对合矩阵.证明由为对称，可得，而即知是对称的.若对合阵，，则，则，再由，即，得，所以，.这样.因而是对合矩阵.定理3.4设为反对称矩阵，即，19则即偶数阶反对称矩阵伴随矩阵仍为反对称矩阵，奇数阶的反对称矩阵的伴随矩阵为对称矩阵.证明由知，，若，那么，即是反对

6、称阵.若，那么，即是对称阵.对定理3.4有如下推论：推论设为非奇异矩阵，为反对称矩阵，则是反对称矩阵，即是反对称矩阵.证明因为为反对称矩阵，所以也是反对称矩阵，于是有上式两边左乘得因此，有；故为反对称，也为反对称.定理3.5初等矩阵的伴随矩阵分别为.证明定理3.6①若是第一类正交矩阵，即，则；19②若是第二类正交矩阵，即，则；③若是阶非零方阵且,则正交；证明①②：若正交，则且，于是③：若，并设，分两种情况；ⅰ）若，那么代数余子式；把按第行展开得又知，所以，所以，即正交ⅱ）若，那么的代数余子式，把按第行展开得，所以所以，即正交.对定理3.6

7、有如下两个推论：推论1若为正交矩阵，则也为正交矩阵.证明为正交阵，则有，故有19所以为正交矩阵.推论2若为正交矩阵，则也为正交矩阵.证明由于为正交矩阵，则可逆，，故所以，为正交矩阵.定理3.7定义若，则称为自伴随矩阵.（1）零矩阵、单位矩阵均为自伴随矩阵；（2）两自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充要条件是两矩阵可交换；（3）若为自伴随矩阵，则也为自伴随矩阵；（4）若为非奇异自伴随矩阵，则也为自伴随矩阵；（5）若为自伴随矩阵，则也为自伴随矩阵.对定理3.7有如下两个推论：推论1为自伴随矩阵，若不是可逆的，则.证明为n阶自伴随矩阵，则，若，则，所

8、以；19若，则.由，可得，所以.下证这种情况不可能出现，可设其中，，由为自伴随矩阵，所以，而得，但不同时为零，不同时为零，此方程无解，所以这种情况不可能出现，因此结论成立.推论2行列式值为1的