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1、中山大学本科毕业论文（设计）（2016届）题/_>r■rf■1>目：伴随矩阵及其应用名：学号：学院：数学学院专业：指导老师:申请学位:伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而解决了矩阵求逆的问题•同时关于矩阵力的伴随矩阵/的性质也是非常重要的.在目前的高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入的研究探讨•因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例.关键词：伴随矩阵，正交矩阵，正定矩阵，可逆矩阵，特征
2、多项式，特征值AbstractAdjointmatrixisanimportantconceptinhigheralgebra,itcanderiveinversematrixcalculationformula,soastosolvetheinverseproblemofmatrixinversion.AtthesametimeonmatrixAwiththenaturcofthematrixA*isalsoveryimportarit.Tnthecurrentteachingofhighermathematics,adjointmatrixisonly
3、forsolvinginversematrixappeared,1essinvoIvedinthecontent,andnoin~depthstudy.Therefore,thispapermainlystudiesthepropertiesofadjointmatrixinsymmetry,contract,positivedefinite,orthogonalandcharacteristicpolynomial,characteristicvalue,andgivenwithwithmatrixinthepracticalproblemsincomp
4、rehensiveapplicationexamples.Keywords:adjointmatrix,orthogormlmatrix,positivedefinitematrix,reversiblematrix,characteristicpolynomial,eigenvalue.目录摘要IAbstract111.弓I言12.伴随矩阵的基本性质23.伴随矩阵的实际应用63.1利用伴随矩阵求逆矩阵63.2由伴随矩阵推导原矩阵63.3伴随矩阵基本性质的直接应用63.4伴随矩阵秩的应用8参考文献91.引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的
5、重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点•那么我们首先来了解一下什么是伴随矩阵，在给出伴随矩阵的定义Z前，先给出余子式和代数余子式的定义.aj%定义1H(Z?>1)阶行列式£>=aiaijain的某一元素斑的余子式M..指的anX%是在D中划去鶴所在的行和列后所余下的斤-1阶子式.定义2邪介行列式D的元素知的余子式叫附以符号(-1严后，叫作元素切的代数余子式，用符号A..表示,州=(-1厂Mq.a2定义3设每是矩阵A=。22a2n中元素知的代数余子式，那么矩阵an2%丿A.A*=A2A>7AvA*A,2称为矩阵A的伴随矩
6、阵.4>定义4一个矩阵屮不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，记作r(A).伴随矩阵中有两个常用的公式公式一AA"=A"A=
7、A
8、/.其中/是单位矩阵，A-是矩阵A的逆矩阵，
9、A
10、是矩阵A的行列式./^21'由jai^j+坷2勺2+ain^jn=^2佥、4.A?00、AA*=。21。22a2n企2A,2—0同0an2ann>A4”An,丿0同理AV=
11、A
12、/,公式一得证•当A是可逆矩阵时，
13、A
14、H0,由公式一可得A(人才>(丄心A同Pl=I,即A
15、=-p-rA*・注：公式二给出了矩阵A的逆矩阵的构造方法，这在理论上是非常重要的•高等代数教材中给出
16、的伴随矩阵，一般都是以上内容，但这对于伴随矩阵的探究远远不够，本文将给出伴随矩阵的一些性质及证明，同时结合伴随矩阵的性质，探究伴随矩阵的实际应用.2.伴随矩阵才的基本性质“，r(A)=n性质1设A是〃阶矩阵，则r(A)=<1,r(A)=n- ,r(A)17、4
18、可知，附［=
19、州科=同",即才=
20、A厂工0,所以水可逆，r(^)=n.(2当r(A)=/z-l时，A中至少有一个斤-1阶子式不为0,即A*中至少有一个元素不为0,因此r(A*)>l.又因为r(A)=n-l,则A不是满秩矩阵，所以
21、A
22、=0.由A
23、V=
24、A
25、/,可知AA*=0,又因为r(A)+r(A*)^n,把r
