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1、伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数屮的一个基本概念,是许多数学分支研宄的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类，其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质，并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。（1）介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基木性质；（2）研宄数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质；（3）研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质，主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性
2、、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性；⑷研究伴随矩陈间的关系性质，主要研究由两矩陈的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系；（5）研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质;（6）给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式，研宄m重伴随矩阵的相应的性质。木文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。矩阵是高等代数学屮的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科屮。在物理学屮，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现
3、无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用冇着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中，常常会遇到伴随矩阵，但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少，以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A=••••番••蠢••參••參•♦參•_anan2'A,A2A/：A21A”AinA*:•••••參拳拳參•••••••••••称为A的伴随矩阵。•4,•
4、••••••••nna\a2aina2n；中元素％的代数余子式，则矩阵定义2.设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=E，则B就称为A的逆矩陈，记为B=A一*。*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2、伴随矩阵的性质性质1.设A为n阶方阵，AA*=A'A=
5、A
6、E0000d其中心
7、斗d00d证明：由行列式按一列（行）展开:AA'=A*A=;:••••••00性质2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退化证明：若4判，则A可逆，且;反之，若a可逆，则有aa4=e，所以IaTHaIIa'HilAl故
8、A
9、=0.即
10、A非退化。性质3.1.若A为非奇异矩阵，则=（A*）-1.证明：因为（M）-1二丄/r1,由性质2两边取逆可得A=
11、A
12、(A*r1故⑷―丨二另一方面，由性质2有（/T1）=—^(A'1)*=
13、A
14、(A-1)*=>(A-1)*=^A•11^1n,当秩A=时性质3.2.设A为n阶矩阵，则秩T=1,当秩=时.0,当秩—2时证明：（1）当秩A=n时，则
15、ApO,A是可逆的，即有存在，所以/C=17^'可见，秩，=八。反之，当秩A*=ri时，/C可逆时，则有（A*）"1存在，所以（?V）_I，有
16、a
17、#0，因A=0,从而A*=0，
18、这与秩A*=Z1矛盾，所以
19、a
20、#o,于是秩（A）-n；（2）当秩（A）=m-1时，则A必有一个n-1阶子式不为0，即A"中至少有一个元素不为0，所以，秩（A'）21，另外秩（A）=，卜1.则A=0,于是，儿＜:‘=AE=0.从而，秩（A）+秩（/T）。，故秩（/T）《l.这便知秩（A]=l.反之，若秩（？f）=l，则A*中必有一个人关0,即是说A必有一个n-1阶子式不为零，故秩A2n-1但不能有秩（A）=n，否则，有秩/T=Z7，而"22,这样与秩（/C）=l矛盾，所以秩（A）n,则（A）—19因此，秩（A）—n—.
21、（3）当秩（A）22、A*
23、=
24、A
25、W'其屮A是n阶方阵（n>2）.证明：若
26、a卜0，•••aa*=
27、a
28、e，W=
29、x
30、"=>
31、a
32、
33、々+
34、=卜
35、"=>
36、=
37、a
38、若
39、a
40、=o,这时秩a+41、=o,而也有人1=
42、/1
43、
44、"一1综合得1，卜
45、A
46、"性质6.若A是n阶非零实矩阵，，=/T，则0.证明：用反证法，若欠=（），则儿4Z=A/V=
47、^
48、£=0,令一方面，设/?nxnnE%2i=l••攀••••••••••••1>2,2•••蠡參參參•AA'=AA^=參參參，=1參參參•參•••••0•=0參參•••參參參♦••參•••••
