弱伴随矩阵及其性质

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1、第24卷第4期延安大学学报(自然科学版)Vol.24No.42005年12月JournalofYananUniversity(NaturalScienceEdition)Dec.2005
弱伴随矩阵及其性质112李顺琴,刘兴祥,郝变军(1.延安大学数学与计算机科学学院;2.延安实验中学,陕西延安716000)摘要:利用伴随矩阵的概念引入了弱伴随矩阵的概念,进而给出了两者之间的关系以及弱伴随矩阵的性质.关键词:弱伴随矩阵;余子式;对称;反对称;相似;特征值中图分类号:O151文献标识码:A文章编号:1004-602X(2005)04-0024-03***设A=(aij)n×n为n

2、阶矩阵,用A表示A的伴定理4秩(A)=秩(A)**随矩阵.由于A中的元素Aij是矩阵A中元素aij(i,证明设秩(A)=r,则存在n阶可逆矩阵i+jj=1,2,⋯,n)的代数余子式,而Aij=(-1)Mij,Q1,Q2,使其中Mij为矩阵A中元素aij的余子式,在教学过程中Ir0*Q1AQ2=,自然会考虑到能否用矩阵A中元素aij的余子式Mij,00*如同A的构造形式构成矩阵来讨论相应的问题.**Ir0所以Q1AQ2=Q1(PAP)Q2=
001引入定义Ir0*-1-1A=(Q1P)(PQ2),00设A=(aij)m×n,Mij为A中元素aij的余子式,**即秩(A)=r=秩(

3、A)把矩阵n,秩A=nM11M21⋯Mn1*定理5秩(A)=1,秩A=n-1*M12M22⋯Mn2A=0,秩A

4、D2(-1)AD2k(-**定理1A=PAP,其中P=(Pij)n×n,Pij=1)D2k-2(-1)⋯D2(⋯-1),其中Di(-1)(i=2,i+1(-1),i=j(i,j=1,2,⋯,n)4,⋯,2k)是第二种初等矩阵,所以定理成立.0,i≠j*2.2A的性质**定理2A可逆
A可逆
A可逆.定理7关于弱伴随矩阵有以下公式成立-11*1***定理3A=A=PAP
(A)′=(A′)
A

A

收稿日期:20050602作者简介:李顺琴(1979),女,陕西延安市人,延安大学助教.第4期李顺琴,等:弱伴随矩阵及其性质25*n-1*
(kA)=kA2)当A不可逆时,即秩A

5、n-1时,由定理5*-1*-1*****n-2
(A)=(A)知秩A
1,所以(A)=0,即(A)=
A
A*****
(AB)=BA由1)、2)知,对任一n阶方阵A,都有(A)=**n-1n-2**n-2

A
=
A
=
A

A
A,又因为(A)=
A

A,所以原式成立.**证明
,
可由弱伴随矩阵的定义直接得
1)当A可逆时,由定理2知A与A都可出.逆,所以**-1*-1*-1-11*(A)=P[(A)
A
]P=
由于A=P(A)P

A
-11n-1-1n-2*-1-1-1PA
A
P=
A
PAPA=P(
A
A)P,
A*-1-1-1-1-1-1所以(A)=P

6、
A
(A)P=****-1n-11(A)=
A
(A)=
A
PAP=
A
P(1A)P(P-1=P)n-2
A
PAP
A
****n-2*-1-1-1-1-11即(A)=(A)=
A
PAP(A)=(P
A
AP)=P(A)P
A
*2)当A不可逆时,由定理5知,秩(A)=秩*-1*-1即(A)=(A)(A*)
1,所以
1)当A、B均可逆时*(A*)=(*A)*=0*-1-1-1(AB)=P
AB
(AB)P=****n-2即(A)=(A)=
A
PAP-1-1-1-1P(
B
B)(
A
A)P=由1)、2)知,原式成立.-1-1-1-1**P(
B
B)PP(
A

7、A)P=BA
因为22)当A或B不可逆时,令A(
)=
E+A,
*(*A)
=(
A
n-2)n
A
=
A
(n-1)B(
)=
E+B只要
充分大,就能使A(
),B(
)都
(*A)*
=(
A
n-2)n
P

A

P
=可逆,所以由1)知(n-1)2
A
***(A(
)B(
))=(B(
))(A(
))****(n-1)2所以
(A)
=
(A)
=
A
上式中的元素都是关于
的多项式,由于
充分*定理9
若A是对称矩阵,则A也是对称矩大时,对应元素相等,所以对应元素是相等