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1、第二章伴随矩阵的性质探讨前言 伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：阶矩阵的伴随矩阵的行列式与秩；阶矩阵的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义设是ｎ阶矩阵 中元素的代数余子式，称矩阵 为的伴随矩阵． 相关内容：《高等代数》（王萼芳 石生明版）
2、定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．如果在前面加上符号后称作Ｍ的代数余子式．6一．伴随矩阵的性质设 2.1伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是非退化（即），当可逆时，，其中为的伴随矩阵．性质１设为的伴随矩阵，则证明：由行列式按一行（列）展开的公式 可得 注：可逆时，证毕．2.2 伴随矩阵的行列式性质2证明:(i)若可逆，则
3、，6由性质１得，,两边同时取行列式得，即，又,则（ii）若不可逆，则综上所述，． 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵的秩，记做．如以下例题：求矩阵的秩．解：由＝，的一个二阶子式故．6定理2.3矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.(《高等代数》王萼芳石生明版)性质3若用表示矩阵的秩,则有以下结论:设是阶矩阵,则证明:①时,显然由性质2知,故②时,由定理知,性质1知,即和的列向量全都为方程组的解,又,则其次方程
4、组的解向量组的和为.知的列秩为1,即.③,中任一元素都是0,因为中不存在非零的阶子式,故 证毕．2.4伴随矩阵的伴随矩阵的性质性质46为n阶矩阵,为的伴随矩阵,则有,特别情况有:当时,.证明:()i)当可逆时,;又由性质1知,所以,(两边同时左乘)(ii)当不可逆时,,.综上所述,. 证毕．2.5n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有n阶矩阵使得.． 伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系： 6 性质５ 可逆的充分必要条件是可逆． 证明：必要性． 由性质１知，．若可逆，则非退化，即. 两边同时消去
5、,得. 由以上的可逆定义可知 是可逆的． 充分性． 即证可逆，则可逆，此命题与其逆否命题＂若不可逆，则也不可逆＂是等价的． 由矩阵不可逆可知,则变为证明若,则． 这里我们用反正法． 假设,则可逆．由性质１知０（两边同时右乘）有０ 得＝0，所以=0，所以与假设的矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，可逆的充分必要条件是可逆． 证毕．2.6n阶矩阵的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵为对称矩阵，如果，6，且有． 性质６．若ｎ阶矩阵是对阵矩阵，则其伴随矩阵也为对称矩阵．证明如下： 设为对称矩阵，可知,，
6、且，可知.即证得为对称矩阵． 证毕． 性质７．设非退化，若为对称矩阵，则也为对称矩阵．即证．证明如下：对称可知． 即为对称矩阵． 证毕． 2.7伴随矩阵与原矩阵的正定性之间的联系矩阵正定的定义：实对称矩阵为正定的，如果二次型正定． 又有，实二次型正定，如果对于任意一组不全为零的实数都有． 性质８若ｎ阶矩阵是正定的，则也是正定的． 证明：因为是正定的，所以存在可逆矩阵，使得 , 则6 又 由正定的定义知也是正定矩阵． 证毕．2.8伴随矩阵的正交性与其原矩阵n阶矩阵的正交性的
7、关系矩阵正交的定义：n阶实数矩阵称为正交矩阵，如果．性质9若为正交矩阵，则也为正交矩阵． 证明：为正交矩阵，知， 由正交的定义知，也为正交矩阵． 证毕． 2.9伴随矩阵的特征值的性质性质10设为n阶矩阵（可逆）的特征值，则其伴随矩阵的特征值与的关系为． 证明：设是的特征值，是的属于特征值的特征向量． 则有 两边同时左乘有 由性质１知上式变为 得6 由的特征值的性质可知 即为的特征值． 证毕． 推广： 性质11若为ｎ阶矩阵（可逆）的特征值，则其伴随矩阵的特征
